\ANG{
\EPSR{8cm}{asrr1191}{6cm}{}{
\PSFM{dt}{$\Delta t$} \PSFM{RM}{$R_{\text{M}}$} 
\PSFM{T}{T} \PSFM{S}{S} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{RE}{$R_{\text{E}}$} 
}{\parfillskip0pt
Ein kurzer Laserpuls wird von einem Teleskop T am "Aquator zu einem Spiegel S
auf dem Mond geschickt, dort reflektiert und bei T wieder empfangen, die Zeit
$\Delta t$, die der Strahl unterwegs war, wird von einer Atomuhr gemessen. Im
Verlauf eines Monats
}\\[1mm]
 misst man die kleinste Zeitdifferenz 
$\Delta t_{\text{min}}=2{,}369506841\,\text{s}$ und den gr"o"sten Wert
$\Delta t_{\text{max}}=2{,}651082437\,\text{s}$. Der Erdradius ist
$R_{\text{E}}=6378\,\text{km}$, der Radius des Mondes $R_{\text{M}}=1738\,\text{km}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne die kleinste ($r_{\text{min}}$) und die gr"o"ste ($r_{\text{max}}$)
Entfernung der Mittelpunkte von Erde und Mond. Ermittle daraus die gro"se
Halbachse $a_{\text{M}}$ und die kleine Halbachse $b_{\text{M}}$ der Mondbahn.
\item Die {\em siderische} (in einem zu den Sternen ruhenden Koordinatensystem
  betrachtete) Umlaufdauer des Mondes ist
  $T_{\text{M}}=27{,}32166\,\text{d}$. Welchen Radius hat die kreisf"ormige
  Bahn eines geostation"aren Satelliten, der die Erde in genau einem
  siderischen Tag ({\em Sterntag}), d.h. in 
  $d_{\text{sid}}=23\,\text{h}\,56\,\text{min}\,4\,\text{s}$ umrundet?
\item Erkl"are das Zustandekommen des Zahlenwertes eines siderischen Tages.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D r_{\text{min}}=\frac{c\Delta t_{\text{min}}}{2}+
  R_{\text{E}}+R_{\text{M}} = 363296\,\text{km}$\\[2mm]
$\D r_{\text{max}}=\frac{c\Delta t_{\text{max}}}{2}+
  R_{\text{E}}+R_{\text{M}} = 405504\,\text{km}$\\[2mm]
$\D a_{\text{M}}=\frac{r_{\text{min}}+r_{\text{max}}}{2}=
  384400\,\text{km}$\\[2mm]
$\D d_{\text{M}}=a_{\text{M}}-r_{\text{min}}=
  21104\,\text{km}$,\qquad
$\D e_{\text{M}}=\frac{d_{\text{M}}}{a_{\text{M}}}=0{,}0549$\\[2mm]
$\D b_{\text{M}}=\sqrt{a_{\text{M}}^{2}-d_{\text{M}}^{2}}=
  383820\,\text{km}$
\item $T=d_{\text{sid}}=86164\,\text{s}$,\qquad
  $\D\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{T_{\text{M}}^{2}}{a_{\text{M}}^{3}}\QDQ
  a=a_{\text{M}}\left(\frac{T}{T_{\text{M}}}\right)^{\frac23}=42298\,\text{km}$\\[2mm]
"uber Erdoberfl"ache: $\D x=a-R_{\text{E}}=35920\,\text{km}$
\item \EPSR{8cm}{asrr1192}{5cm}{}{
\PSFM{S}{Sonne} \PSFM{E}{Erde}  
}{
Ein Jahr hat 365,25 24\,h-Tage und 366,25 Sterntage:
\[365{,}25\cdot 24\,\text{h}=366{,}25\cdot d_{\text{sid}}\]
\[d_{\text{sid}}=\frac{365{,}25}{366{,}25}\cdot 24\cdot 3600\,\text{s}=
86164\,\text{s}\]
\[d_{\text{sid}}=23\,\text{h}\,56\,\text{min}\,4\,\text{s}\]
}
\end{enumerate}
}