\ANG{
\parbox[t]{0.45\linewidth}{
Der Jupiter hat etwa 60 Monde auch Trabanten genannt. Der Durchmesser seines gr"o\ss ten Mondes Ganymed betr"agt $5262\,\mathrm{km}$. Es gibt aber auch Monde die nur einen Durchmesser von etwa einem Kilometer haben.
Die Monde des Jupiters unterscheiden sich relativ stark in ihrer Dichte. Nebenstehend wurde aber eine Auswahl von relativ kleinen Monden getroffen, die sich in ihrer Dichte nicht sehr unterscheiden.
}\hspace{0.10\linewidth}
\parbox[t]{0.45\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Name & $d$ in km & $m$ in kg \\ \hline\hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Chaldene & $4$ & $7{,}5\cdot10^{13}$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Callirrhoe & $9$ & $8{,}7\cdot10^{14}$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Ananke & $28$ & $3{,}0\cdot10^{16}$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Sinope & $38$ & $7{,}6\cdot10^{16}$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Carme & $46$ & $1{,}3\cdot10^{17}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
In dieser Tabelle bezeichnet $d$ den Durchmesser und $m$ die Masse des Trabanten.
}
\begin{enumerate}
    \item Berechne die Dichte f"ur Carme.
    \item Erstelle ein $d$--$g$--Diagramm f"ur die Trabanten. Dabei soll $g$ die Fallbeschleunigung an der Oberfl"ache des Mondes sein.
          W"ahle auf der $d$--Achse f"ur f"unf Kilometer einen Zentimeter und auf der Hochwertachse entspricht $\frac{1}{2000}\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}$ einem Zentimeter.
          Welchen Vernmutung kannst du f"ur den Zusammenhang zwischen $d$ und $g$ deinem Diagramm entnehmen?
    \item Beweise die von dir in der vorigen Aufgabe aufgestellte Vermutung.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $2{,}6\cdot10^3\,\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$
\item \mbox{}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(11,11)
\psaxes{->}(9.5,9.5)
\psdots[dotstyle=Bo](0.8,0.6)(1.8,1.4)(5.6,5.1)(7.6,7.0)(9.2,8.1)
\rput(10.5,0){\tiny $\dfrac{d}{5\,\mathrm{km}}$}
\rput(0,10.5){\tiny $\dfrac{1}{2000}\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
Vermutung: $d$ und $g$ sind direkt proportional. D.h. in gleichem Ma\ss\ wie der Durchmesser eines Himmelsk"orpers w"achst, so w"achst auch die Fallbeschleunigung an seiner Oberfl"ache, sofern die Dichte konstant bleibt.
\item $g=\gamma\,\dfrac{M}{r^2} = \gamma\,\dfrac{\frac{4}{3}\,r^3\,\pi}{r^2} = \dfrac{4}{3}\,\pi\,\gamma\,r$.
\end{enumerate}
}
