\ANG{
\EPSR{9cm}{merr4231}{5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{v}{$v_{\text{i}}$} \PSFM{om}{$\omega_{0}$} 
\PSFM{m}{$m$}
}{
In der "Aquatorialebene eines Planeten mit Radius $R$ und konstanter Dichte
$\varrho$ liegt ein Ringtunnel mit Radius $r$, dessen Mittelpunkt mit dem
Mittelpunkt des Planeten zusammenf"allt. Im evakuierten Tunnel kreist ein
kleiner Satellit der Masse $m$ um den Planetenmittelpunkt.
\begin{enumerate}
\item Berechne die St"arke $g(r)$ des Gravitationsfeldes im Ringtunnel. Der
  Term soll au"ser $r$ nur $\varrho$ und Konstanten enthalten.
\item Berechne die Umlaufdauer $T_{\text{i}}(r)$ und die Geschwindigkeit 
  $v_{\text{i}}(r)$ des Satelliten in einem (nichtrotierenden) Inertialsystem.
\end{enumerate}
}\\[-5mm]
\begin{enumerate}
\item[(c)] Der Planet dreht sich im Inertialsystem in der Zeit $T_{0}$ 
  ($T_{\text{i}}<T_{0}$) einmal
  um seine Achse, der Umlaufsinn des Satelliten und der Drehsinn des Planeten
  sind gleich. $T_{\text{r}}$ ist die Umaufdauer des Satelliten von einem im 
  Ringtunnel ruhenden Beobachter aus betrachtet. 
  Dr"ucke $T_{\text{r}}$ durch $T_{\text{i}}$ und $T_{0}$ aus.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D g(r)=\frac{GM(r)}{r^{2}}=
  \frac{G\cdot\frac{4\pi}{3}\varrho r^{3}}{r^{2}}=
  \frac{4\pi G\varrho}{3}\cdot r$
\item $\D\frac{mv_{\text{i}}^{2}}{r}=mg(r)\quad\DANN\quad
  \frac{4\pi^{2}r^{2}}{rT_{\text{i}}^{2}}=\frac{4\pi G\varrho}{3}\cdot r\quad\DANN\quad
  T_{\text{i}}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\varrho}}$\\[2mm]
  $\D\frac{v_{\text{i}}^{2}}{r}=g(r)\quad\DANN\quad
   v_{\text{i}}=\sqrt{\frac{4\pi G\varrho}{3}}\cdot r$
\item Ein Punkt des Tunnels dreht sich im Inertialsystem mit der
  Geschwindigkeit $v_{0}$, der Satellit hat im rotierenden System die 
  Geschwindigkeit $v_{\text{r}}$: 
  \[v_{\text{r}}=v_{\text{i}}-v_{0}\quad\DANN\quad
   \frac{2r\pi}{T_{\text{r}}}=\frac{2r\pi}{T_{\text{i}}}-\frac{2r\pi}{T_{0}}\] 
  \[\frac{1}{T_{\text{r}}}=\frac{1}{T_{\text{i}}}-\frac{1}{T_{0}}
    \quad\DANN\quad
    T_{\text{r}}=\frac{T_{0}T_{\text{i}}}{T_{0}-T_{\text{i}}}\] 

\end{enumerate}
}
