\ANG{
\EPSR{10.0cm}{merr123}{3.5cm}{}{
\PSFM{m}{$m$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{y1}{$y_{1}=d$} 
\PSFM{y2}{$y_{2}=h$} \PSFM{d}{$d$} \PSFM{h}{$h-d$} \PSFM{y0}{0}
}{
Die Feder einer Spielzeugkanone ($D=5{,}4\,\RFRAC{N}{m}$) ist gerade
dann entspannt, wenn die Kugel der Masse $m=10\,$g die M"undung
($y_{1}=d=20\,$cm) erreicht.\\[2mm]
Welche maximale H"ohe $y_{2}=h$ erreicht die Kugel, wenn sie bei 
$y_0=0$ mit $v_{0}=0$ startet?\\[0mm]
Zeichne in {\bf ein} $yW$-Diagramm die Grafen aller auftretenden 
Energieformen!\\[0mm]
Berechne die Geschwindigkeit der Kugel in Abh"angigkeit von $y$ und
zeichne das $yv$-Diagramm. Wo ist die Geschwindigkeit maximal und wie
gro"s ist $v_{\text{max}}$?
}
}
\LSG{
% Loesung zu 11a0315
Als Nullpunkt der potentiellen Energie der Gravitation w"ahlen wir $y_{0}=0$,
d.h. 
\[W_{\text{p}}(y)=mgy\] 
Da die Kugel nicht an der Feder befestigt ist, ist die Spannenergie der Feder
in Abh"angigkeit von $y$:
\[W_{\text{F}}(y)=\begin{cases} 
  \frac{D}{2}(d-y)^{2} & \text{f"ur $y\leqq d$}\\
                        0 & \text{f"ur $y>d$}
\end{cases}\]
Da die Gesamtenergie $W_{\text{ges}}$ konstant ist (Energiesatz), gilt
\[W_{\text{p}}(y)+W_{\text{F}}(y)+W_{\text{kin}}(y)=W_{\text{ges}}=\text{konstant}\]
Im tiefsten Punkt ($y=0$) ruht die Kugel, d.h. ihre kinetische Energie ist
null. Da dort auch die potentielle Energie null ist, lautet der Energiesatz
f"ur $y=0$:  
\[\underbrace{W_{\text{p}}(0)}_{0}+
  \underbrace{W_{\text{F}}(0)}_{\frac{D}{2}d^{2}}+
  \underbrace{W_{\text{kin}}(0)}_{0}=W_{\text{ges}}\]
oder 
\[W_{\text{ges}}=\frac{D}{2}d^{2}= 
  2{,}7\,\RFRAC{N}{m}\cdot 0{,}2^{2}\,\text{m}^{2}=0{,}108\,\text{J}\]
Im h"ochsten Punkt ($y=y_{2}$) sind die kinetische und die Federenergie null: 
\[mg(y_{2}-y_{0})=W_{\text{ges}}\quad\DANN\quad 
  y_{2}=\frac{W_{\text{ges}}}{mg}+y_{0}=
  \frac{0{,}108\,\RFRAC{kg\,m^{2}}{s^{2}}}{0{,}01\,\text{kg}\cdot
    9{,}81\,\RFRAC{m}{s^{2}}}=1{,}20\,\text{m}\]
\[W_{\text{kin}}(y) =
  W_{\text{ges}}-W_{\text{p}}(y)-W_{\text{F}}(y)=
 \begin{cases}
  W_{\text{kin,1}} & \text{f"ur $y\leqq y_{1}$}\\
  W_{\text{kin,2}} & \text{f"ur $y> y_{1}$}
\end{cases} 
\]
\begin{align} 
W_{\text{kin,1}}(y) &= 
 \frac{D}{2}d^{2}-mgy-
  \frac{D}{2}(y-d)^{2}=-\frac{D}{2}y^{2}+(Dd-mg)y=\nonumber\\
  &= -2{,}7\,\RFRAC{J}{m^{2}}\,y^{2}+0{,}9819\,\RFRAC{J}{m}\,y\nonumber\\
W_{\text{kin,2}}(y)&= \frac{D}{2}d^{2}-mgy=
0{,}108\,\text{J}-0{,}0981\,\RFRAC{J}{m}\,y\nonumber
\end{align}
Die Kugel wird schneller, wenn die Gesamtkraft $F(y)$ auf sie positiv ist, 
d.h. wenn die Federkraft $F_{\text{D}}$ gr"o"ser als die Gewichtskraft  
ist. Wenn die Gesamtkraft auf die Kugel negativ ist ($F_{\text{D}}<mg$), dann 
wird die Kugel wieder langsamer. Ihre maximale Geschwindigkeit erreicht die  
Kugel also am Ort $y_{3}$ mit $F(y_{3})=0$ bzw.  
\[F_{\text{D}}(y_{3})=D(d-y_{3})=mg\quad\DANN\quad 
  y_{3}=d-\frac{mg}{D}=18{,}2\,\text{cm}\] 
%$y_{3}$ erh"alt man auch, wenn man die Ableitung von $W_{\text{kin}}$ nach $y$  
%(f"ur $y<y_{1}$) null setzt:   
%\[W_{\text{kin}}'(y_{3})=-Dy_{3}+Dd-mg=0\quad\DANN\quad
% y_{3}=d-\frac{mg}{D}\] 
Die maximale kinetische Energie ist  
\[W_{\text{kin,max}}=W_{\text{kin,1}}(y_{3})=
  \frac{D}{2}\left(d-\frac{mg}{D}\right)^{2}=0{,}0893\,\text{J}\] 
\[\frac{m}{2}v_{\text{max}}^{2}=W_{\text{kin,max}}\quad\DANN\quad 
 v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2W_{\text{kin,max}}}{m}}=4{,}23\,\RFRAC{m}{s}\] 
\EPSC{merr123L1}{9cm}{}{  
\PSFM{Wk}{$W_{\text{kin}}$} \PSFM{WF}{$W_{\text{F}}$}   
\PSFM{y}{$\frac{y}{\text{m}}$} \PSFM{W}{$\frac{W}{\text{J}}$} 
\PSFM{Wg}{$W_{\text{ges}}$} \PSFM{Wp}{$W_{\text{p}}$}\PSFM{0,1}{0,1}
\PSFM{0,2}{0,2}   
\PSFM{0}{0} \PSFM{0,3}{0,3} \PSFM{0,5}{0,5} \PSFM{0,7}{0,7}  
\PSFM{0,9}{0,9} \PSFM{1,1}{1,1} \PSFM{0,02}{0,02} \PSFM{0,04}{0,04} 
 \PSFM{0,06}{0,06}  \PSFM{0,08}{0,08}  
} 
\[v(y)=\sqrt{\frac{2W_{\text{kin}}}{m}}\]  
\EPSC{merr123L2}{9cm}{}{ 
 \PSFM{v}{$\frac{v}{\RFRAC{m}{s}}$}  
 \PSFM{y}{$\frac{y}{\text{m}}$}  
\PSFM{0,1}{0,1}
\PSFM{0,2}{0,2}   
\PSFM{0}{0} \PSFM{0,3}{0,3} \PSFM{0,5}{0,5} \PSFM{0,7}{0,7}  
\PSFM{0,9}{0,9} \PSFM{1,1}{1,1} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} 
 \PSFM{3}{3}  \PSFM{4}{4}  
}
Die Steigung des Grafen von $v(y)$ ist bei $y_{0}=0{,}1\,\text{m}$ und bei  
 $y_{2}=1{,}2\,\text{m}$ unendlich. Das bedeutet aber nicht, dass die 
 Beschleunigung $a(y)$ an diesen Stellen unendlich ist, da es sich ja um ein  
 $yv$- und nicht um ein $tv$-Diagramm handelt. Die Beschleunigung erh"alt man 
 am einfachsten "uber die Kraft:  
\[a(y)=\frac{F(y)}{m}=\begin{cases}
 \frac{D(d-y)}{m}-g & \text{f"ur $y\leqq d$}\\
 -g & \text{f"ur $y>d$}
\end{cases}\] 
%Nat"urlich folgt die Beschleunigung mit Hilfe der Kettenregel auch aus $v(y)$:  
%\[a(y)=\frac{\RMd v(y)}{\RMd t}=\frac{\RMd v(y)}{\RMd y}\cdot
%\frac{\RMd y}{\RMd t}=\frac{\RMd v(y)}{\RMd y}\cdot v(y)\] 
} 
