\ANG{
Ein Auto bewegt sich 4\,s lang nach dem Gesetz 
\[x(t)=\frac{1}{10}\,\RFRAC{m}{s^{3}}\cdot t^{3}.\]
Berechne n"aherungsweise die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Autos
zur Zeit $t_{1}=3{,}0000\,\text{s}$.
} 
\LSG{
Mit $\Delta t=0{,}001\,\text{s}$ folgt
\[v(t_{1})\approx\frac{x\left(t_{1}+\frac{\Delta t}{2}\right)-
  x\left(t_{1}-\frac{\Delta t}{2}\right)}{\Delta t}=
  \frac{\left(3{,}0005^{3}-2{,}9995^{3}\right)\,\text{m}}
  {10\cdot 0{,}001\,\text{s}}=2{,}700\,\RFRAC{m}{s}\]
Mit $t_{2}=t_{1}-\frac{\Delta t}{2}=2{,}9995\,\text{s}$ und 
$t_{3}=t_{1}+\frac{\Delta t}{2}=3{,}0005\,\text{s}$
folgt
\[v(t_{2})\approx\frac{x\left(t_{2}+\frac{\Delta t}{2}\right)-
  x\left(t_{2}-\frac{\Delta t}{2}\right)}{\Delta t}=
  \frac{\left(3{,}000^{3}-2{,}999^{3}\right)\,\text{m}}
  {10\cdot 0{,}001\,\text{s}}=2{,}6991\,\RFRAC{m}{s}\]
\[v(t_{3})\approx\frac{x\left(t_{3}+\frac{\Delta t}{2}\right)-
  x\left(t_{3}-\frac{\Delta t}{2}\right)}{\Delta t}=
  \frac{\left(3{,}001^{3}-3{,}000^{3}\right)\,\text{m}}
  {10\cdot 0{,}001\,\text{s}}=2{,}7009\,\RFRAC{m}{s}\]
\[a(t_{1})\approx\frac{v\left(t_{3}\right)-
  v\left(t_{2}\right)}{\Delta t}=
  1{,}800\,\RFRAC{m}{s^{2}}\]
}
