\ANG{
Ein Auto beschleunigt im Zeitintervall $[T_{1},T_{2}]$ mit $T_{1}=0$ und
$T_{2}=20\,\text{s}$ nach dem Gesetz
\[v(t)=-1{,}875\cdot 10^{-4}\,\RFRAC{m}{s^{5}}\,t^{4}+
    0{,}15\,\RFRAC{m}{s^{3}}\,t^{2}\]
\begin{enumerate}
\item Zeichne den Grafen der Funktion $v(t)$ im angegebenen Intervall. W"ahle
  die Einheiten $t=2\,\text{s}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm}$ und
  $v=5\,\RFRAC{m}{s}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm}$
\item Berechne n"aherungsweise den Weg $\Delta x$, den das Fahrzeug w"ahrend
  des Beschleunigens zur"ucklegt und veranschauliche deinen Rechenweg im
  gezeichneten Diagramm. Zerlege in 5 Teilintervalle.
\item Berechne n"aherungsweise die Beschleunigung $a_{1}=a(6\,\text{s})$ des
  Autos.
\item Welche geometrischen Gr"o"sen im Grafen von $v(t)$ entsprechen $\Delta
  x$ bzw. $a_{1}$?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{5.5cm}{merr4441}{8cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{2}{2} \PSFM{4}{4} \PSFM{6}{6} \PSFM{8}{8} 
\PSFM{10}{10} \PSFM{12}{12} \PSFM{14}{14} \PSFM{16}{16} \PSFM{18}{18} 
\PSFM{20}{20} \PSFM{5}{5} \PSFM{15}{15} \PSFM{25}{25} \PSFM{30}{30}
\PSFM{t}{$\D\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{v}{$\D\frac{v}{\RFRAC{m}{s}}$} 
}{
\begin{tabular}[t]{l|l}
$\D\frac{t}{\text{s}}$ & $\D\frac{v}{\RFRAC{m}{s}}$\rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\\hline
0  & 0\\
2  & 0,597\\
4  & 2,352\\
6  & 5,157\\
8  & 8,832\\
10 & 13,125\\
12 & 17,712\\
14 & 22,197\\
16 & 26,112\\
18 & 28,917\\
20 & 30,0
\end{tabular}
}
\item $\D\Delta t=\frac{20\,\text{s}}{5}=4\,\text{s}$
\begin{align*}
\Delta x &= \left[v(2\,\text{s})+v(6\,\text{s})+v(10\,\text{s})+
v(14\,\text{s})+v(18\,\text{s})\right]\Delta t=\\
&= \left[0,597+5,157+13,125+22,197+28,917\right]\,\RFRAC{m}{s}\cdot 4\,\text{s}=\\
&= 69{,}993\,\RFRAC{m}{s}\cdot 4\,\text{s}=279{,}972\,\text{m}
  \approx 280\,\text{m}
\end{align*} 
\item Mit $\Delta t=0{,}001\,\text{s}$ folgt:
\begin{align*}
 a_{1}=a(6\,\text{s})&\approx
  \frac{v(6{,}0005\,\text{s})-v(5{,}9995\,\text{s})}{0{,}001\,\text{s}}=
  \frac{5{,}157819027\,\RFRAC{m}{s}-5{,}156181027\,\RFRAC{m}{s}}
  {0{,}001\,\text{s}}=\\
&=\frac{0{,}001638\,\RFRAC{m}{s}}{0{,}001\,\text{s}}=1{,}638\,\RFRAC{m}{s^{2}}
\end{align*}
\item $\Delta x$ entspricht der Fl"ache unter dem Grafen und $a_{1}$ der
  Steigung der Kurve im Punkt $(6\,\text{s}\,|\,v(6\,\text{s}))$.
\end{enumerate}
}
