\ANG{
{\bfseries Fallschirmspringen}
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6.5cm}{merr4431}{6.5cm}{}{
\PSFM{v}{$v$} \PSFM{dx}{$\Delta x$} \PSFM{A}{$A$} \PSFM{}{} 
}{\parfillskip0pt
Zuerst m"ussen wir eine Formel f"ur die Luftreibungskraft (den 
{\em Luftwiderstand}) $F_{\text{L}}$ finden. Bewegt sich ein K"orper mit der 
{\em Stirnfl"ache} $A$ (sie steht senkrecht auf der Geschwindigkeit) und der
Geschwindigkeit $v$ um die
Strecke $\Delta x$, dann muss das Luft-
}\\[1mm]
volumen $\Delta V=A\Delta x$ 
\GF{aus dem Weg ger"aumt} werden. Dabei 
wird ein Bruchteil $c_{\text{w}}$ der Luftmasse
(abh"angig von der {\em Stromlinienform} des K"orpers) tats"achlich auf die
Geschwindigkeit $v$ beschleunigt. Beweise mit dem Energiesatz, dass f"ur den 
Luftwiderstand die Formel
\[\boxed{F_{\text{L}}=c_{\text{w}}\cdot\frac{\varrho}{2}Av^{2}}\]
git, wobei $\varrho=1{,}29\,\RFRAC{kg}{m^{3}}$ die Dichte der Luft
bezeichnet. $c_{\text{w}}$ nennt man auch den {\em Luftwiderstandsbeiwert}.
\item Ein Fallschirmspringer l"asst sich zur Zeit $t_{0}=0$ in der H"ohe 
$h=1000\,\text{m}$ "uber dem Boden aus einem Flugzeug fallen. In der ersten
Flugphase (ohne 
Schirm) betr"agt seine Stirnfl"ache $A_{1}=1{,}0\,\mathrm{m^{2}}$ und
der Widerstandsbeiwert ist $c_{\text{w1}}=0{,}84$. Zur Zeit $t_{1}=26\,\text{s}$
zieht er die Reissleine seines Schirms und ab jetzt gilt
$A_{2}=40\,\mathrm{m^{2}}$ und $c_{\text{w2}}=1{,}33$. 

  Stelle die Bewegungsgleichung f"ur den Fallschirmspringer auf und l"ose
  sie mit einem CAS. Verwende ein Koordinatensystem mit der $x$-Achse nach
  oben und dem Nullpunkt am Boden. Erstelle grafische Darstellungen der
  Funktionen $x(t)$ und $v(t)$.

  Hinweis zur Umsetzung: Bei den meisten Computeralgebrasystemen gibt es den Befehl
  {\tt piecewise} f"ur abschnittsweise definierte Funktionen. Mache dich auch
  mit der Vorzeichenfunktion $\text{sgn}(x)$ (Signum) vertraut (Internet), um
  dem Luftwiderstand das richtige Vorzeichen zu geben.
\item Berechne die konstanten Endgeschwindigkeiten $v_{1}$ (ohne Schirm) und
  $v_{2}$ (mit Schirm) ohne auf die numerische L"osung zur"uckzugreifen.
\item Beantworte mit Hilfe der numerischen L"osung folgende Fragen:
\begin{enumerate}
\item Wann erreicht der Springer im freien Fall 99\,\% seiner
  Endgeschwindigkeit?
\item Wann erreicht der Springer den Boden?
\item Welche maximale Beschleunigung $a_{\text{max}}$ erf"ahrt der Springer? 
  Warum ist $a_{\text{max}}$ in der Realit"at sicher kleiner? 
\end{enumerate}

\end{enumerate}
} 

\ifLOESUNG{
\ANFL
\begin{enumerate}
\item Die Masse der beschleunigten Luft ist
\[m_{\text{L}}=\varrho c_{\text{w}}A\Delta x\]
Vom K"orper wird an der Luft die Arbeit $W=F_{\text{L}}\Delta x$ verrichtet,
die in kinetische Energie der Luft verwandelt wird:
\[F_{\text{L}}\Delta x=\frac12 m_{\text{L}}v^{2}=\frac12\varrho
c_{\text{w}}A\Delta x v^{2}\QDQ F_{\text{L}}=\frac12\varrho c_{\text{w}}Av^{2}\] 
\item $\D F=-g-\text{sgn}(v)\cdot\frac12\varrho c_{\text{w}}Av^{2}\QDQ$
\[a(x,v,t)=\begin{cases}
-g-\text{sgn}(v)C_{1}v^{2}
& \text{f"ur $t\leqq t_{1}$}\\
-g-\text{sgn}(v)C_{2}v^{2}
& \text{f"ur $t> t_{1}$}
\end{cases}
\]
mit $\D C_{1}=\frac{\varrho}{2m}c_{\text{w1}}A_{1}=0{,}00774\,\RFRAC{1}{m}$ und
$\D C_{2}=\frac{\varrho}{2m} c_{\text{w2}}A_{2}=0{,}4902\,\RFRAC{1}{m}$

Es folgt eine Umsetzung der numerischen L"osung mit MuPAD. Verwendet wird ein
Halbschrittverfahren:
\lstset{language=MuPAD}
\begin{lstlisting}
reset():
DIGITS := 20;
m := 70;
cw1 := 0.84;
cw2 := 1.33;
rho := 1.29;
A1 := 1;
A2 := 40;
C1 := rho/2/m*cw1*A1;
C2 := rho/2/m*cw2*A2;
g := 9.81;
a1 := (x,v,t) -> -g-sign(v)*C1*v^2;
a2 := (x,v,t) -> -g-sign(v)*C2*v^2; 
t1 := 26;
a := (x,v,t) -> piecewise([t<=t1,a1(x,v,t)],[t>t1,a2(x,v,t)]);
x[0] := 1000;
v[0] := 0;
t[0] := 0;
dt := 0.01;
n := 6200;
for i from 1 to n do
  t[i] := i*dt;
  vs := v[i-1]+a(x[i-1],v[i-1],t[i-1])*dt/2;
  xs := x[i-1]+v[i-1]*dt/2;
  v[i] := v[i-1]+a(xs,vs,t[i-1]+dt/2)*dt;
  x[i] := x[i-1]+vs*dt;
end_for;
Kv := [t[i],v[i]] $ i=0..n:
Kx := [t[i],x[i]] $ i=0..n:
Px := plot::PointList2d([Kx],ViewingBoxYRange=0..x[0],PointSize = 0.5):
plot(Px,Pxx)
\end{lstlisting}
\EPSC{merr4432}{10cm}{}{
\PSFM{tt}{$\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{y}{$\frac{x}{\text{m}}$} 
\PSFM{A}{$A$} \PSFM{}{} 
}
\begin{lstlisting}
Pv := plot::PointList2d([Kv],PointSize = 0.5):
plot(Pv);
\end{lstlisting}
\EPSC{merr4433}{10cm}{}{
\PSFM{x}{$\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{y}{$\frac{v}{\RFRAC{m}{s}}$} 
\PSFM{A}{$A$} \PSFM{}{} 
}
\begin{lstlisting}
KF := [t[i],F(x[i],v[i],t[i])] $ i=0..n:
PF := plot::PointList2d([KF],PointSize = 0.5):
plot(PF);
\end{lstlisting}
\item Die Geschwindigkeit ist konstant, wenn die Gesamtkraft auf den K"orper
  null ist:
\[-mg+C_{1}*v_{1}^{2}=0\QDQ v_{1}=\sqrt{\frac{mg}{C_{1}}}=
  -35{,}6\,\RFRAC{m}{s}=-128\,\RFRAC{km}{h}\]
\[-mg+C_{2}*v_{2}^{2}=0\QDQ v_{2}=\sqrt{\frac{mg}{C_{2}}}=
  -4{,}47\,\RFRAC{m}{s}=-16{,}1\,\RFRAC{km}{h}\]
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{lstlisting}
v1 := -sqrt(g/C1);
-35.601149707068678867
0.99*v1;
-35.2451
v[960];
-35.2442
v[961];
-35.2461
\end{lstlisting}
Er erreicht 99\,\% von $v_{1}$ zur Zeit $9{,}6\,\text{s}$.
\item 
\begin{lstlisting}
x[6196];
0.018012
x[6197];
-0.026723
\end{lstlisting}
Er landet zur Zeit $62{,}0\,\text{s}$.
\item
\begin{lstlisting}
aa(2600);
-0.0000234886
aa(2601);
416.388
\end{lstlisting}
Direkt nach dem "Offnen des Fallschirms ist die Beschleunigung maximal:
\[a_{\text{max}}=416\,\RFRAC{m}{s^{2}}=42{,}4\,g\] 
In der Realit""at tritt diese hohe Beschleunigung nicht auf, da sich der
Fallschirm nicht schlagartig "offnet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\ENDL
}\else{}\fi

