\ANG{
\EPSR{11.5cm}{merr4072}{2.5cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5}
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{x}{$\frac{x}{\text{m}}$} 
}{
Nebenstehende Abbildung zeigt den Sturz eines Kletterers der Masse $m$ in ein
Seil. Bei $x_{0}=0$ beginnt der Sturz mit der Geschwindigkeit $v_{0}=0$, bei
$x_{1}=6{,}0\,\text{m}$ ist das Seil gerade gespannt und beginnt sich zu
dehnen, bei $x_{2}=9{,}0\,\text{m}$ erreicht der Kletterer den tiefsten Punkt,
der als Nullpunkt der potentiellen Energie verwendet wird. In der ganzen
Aufgabe ist der Luftwiderstand zu vernachl"assigen und mit dem Wert 
$g=10\,\RFRAC{m}{s^{2}}$ f"ur die Fallbeschleunigung zu rechnen!
\begin{enumerate}
\item Schreibe einen kurzen aber vollst"andigen \GF{Zeitungsbericht} "uber den
  Sturz, in dem es 
  nur um die beteiligten Energieformen und um ihre Umwandlungen ineinander
  geht. Der Bericht soll so beginnen: \GF{Am Ort $x_{0}$ ist nur ...}.
\end{enumerate}
}\\[-7mm]
\begin{enumerate}
\item[(b)] Begr"unde genau, warum der Graf der Funktion $W_{\text{p}}(x)$ 
  (potentielle Energie des Kletterers, $x$ ist der Ort des Kletterers) eine
  Gerade ist und zeichne sie in das unten angegebene Diagramm ein.
\item[(c)] Im Diagramm
  sind schon zwei Werte der Funktion $W_{\text{S}}(x)$ (Spannenergie des Seils
  in Abh"angigkeit vom Ort $x$ des Kletterers) eingezeichnet; ermittle durch
  "Uberlegen (nat"urlich mit Protokoll deiner Gedanken) oder durch Rechnung
  noch weitere Werte von $W_{\text{S}}$ und zeichne auch den Grafen von
  $W_{\text{S}}$ ein.
\item[(d)] \parbox[t]{6.5cm}{Zeichne den Grafen der Gesamtenergie $W_{\text{ges}}$
  ein. Beschreibe kurz, wie man aus den vorhandenen Grafen den der kinetischen
  Energie $W_{\text{k}}$ finden kann. F"ulle nebenstehende Wertetabelle aus und
  zeichne dann den Grafen von $W_{\text{k}}$ in das Diagramm ein. Welche
  Geschwindigkeit in $\RFRAC{km}{h}$ hat der Kletterer bei $x=6{,}0\,\text{m}$?}\hfill
  \parbox[t]{6.5cm}{
    \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
      \rule[-3mm]{0mm}{8mm}
      $\frac{x}{\text{m}}$ & $\frac{W_{\text{ges}}(x)}{\text{J}}$ & 
      $\frac{W_{\text{p}}(x)}{\text{J}}$ & $\frac{W_{\text{S}}(x)}{\text{J}}$ & 
      $\frac{W_{\text{k}}(x)}{\text{J}}$\\\hline
      0 &  &  &  &  \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      6 &  &  &  &  \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      7 &  &  &  &  \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline
      8 &  &  &  &  \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      9 &  &  &  &  \rule[-3mm]{0mm}{8mm} 
    \end{tabular}
}\\[2mm]
\EPSR{2.5cm}{merr4071}{11cm}{}{\PSFM{0}{0} 
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5}
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{2T}{2000}
\PSFM{5T}{5000} \PSFM{9T}{9000} \PSFM{x}{$\frac{x}{\text{m}}$} 
\PSFM{W}{$\frac{W}{\text{J}}$}
\PSFM{Wp0}{$W_{\text{p}}(0)$} \PSFM{Wp2}{$W_{\text{p}}(9\,\text{m})$} 
\PSFM{Ws1}{$W_{\text{S}}(7\,\text{m})$} 
\PSFM{Ws2}{$W_{\text{S}}(8\,\text{m})$}   
}{
Verwende verschiedene Farben (nicht rot!) f"ur die Grafen und beschrifte sie!
}
\item[(e)] Wie gro"s sind die Masse $m$ des Gest"urzten und die Federkonstante
  $D$ des Seils? Am Ort $x_{3}$, an dem der Kletterer seine gr"o"ste
  Geschwindigkeit hat, ist die Gesamtkraft $F$ auf ihn null,
  d.h. $F(x_{3})=0$; warum? Berechne $x_{3}$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Am Ort $x_{0}$ ist nur die potentielle Energie des Kletterers gr"o"ser
  als null. Zwischen $x_{0}$ und $x_{1}$ wird $W_{\text{p}}$ immer kleiner und
  verwandelt sich in kinetische Energie; die Spannenergie des Seils ist immer
  noch null. Zwischen $x_{0}$ und $x_{1}$ verwandelt sich die restliche
  potentielle und die kinetische Energie in Spannenergie, bis zum Schluss bei
  $x_{2}$ die ganze anf"angliche potentielle Energie in Spannenergie
  umgewandelt wurde.
\item Die H"ohe $h$ des Kletterers "uber dem tiefsten Punkt ist 
  $h=9\,\text{m}-x$, d.h.
  \[W_{\text{p}}=mgh=mg(9\,\text{m}-x)=mg\cdot 9\,\text{m}-mgx\]
  Das ist eine lineare Funktion von $x$.
\item $W_{\text{S}}(x)=0$ f"ur $0\leqq x\leqq x_{1}$.\quad 
  $W\text{S}(x_{2})=9000\,\text{J}$.
\item \parbox[t]{6.5cm}{$W_{\text{ges}}=9000\,\text{J}$.\\[2mm]
  Aus dem Energiesatz 
  \[W_{\text{p}}+W_{\text{k}}+W_{\text{S}}=W_{\text{ges}}\]
  folgt
  \[W_{\text{k}}(x)=W_{\text{ges}}(x)-W_{\text{p}}(x)-W_{\text{S}}(x)\]
}\hfill
  \parbox[t]{6.5cm}{
    \begin{tabular}[t]{c|r|r|r|r}
      \rule[-3mm]{0mm}{8mm}
      $\frac{x}{\text{m}}$ & $\frac{W_{\text{ges}}(x)}{\text{J}}$ & 
      $\frac{W_{\text{p}}(x)}{\text{J}}$ & $\frac{W_{\text{S}}(x)}{\text{J}}$ & 
      $\frac{W_{\text{k}}(x)}{\text{J}}$\\\hline
      0 & 9000 & 9000 & 0 & 0 \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      6 & 9000 & 3000 & 0 & 6000 \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      7 & 9000 & 2000 & 1000 & 6000 \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline
      8 & 9000 & 1000 & 4000 & 4000 \rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
      9 & 9000 & 0 & 9000 & 0 \rule[-3mm]{0mm}{8mm} 
    \end{tabular}
}
  \[\frac{m}{2}\,v^{2} = mgx_{1}\quad\DANN\quad
   v^{2} = 2gx_{1}=120\,\RFRAC{m^{2}}{s^{2}}\quad\DANN\quad
   v=11\,\RFRAC{m}{s}=39\,\RFRAC{km}{h} 
  \]
\EPSC{merr4073}{11cm}{}{\PSFM{0}{0} 
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5}
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{2T}{2000}
\PSFM{5T}{5000} \PSFM{9T}{9000} \PSFM{x}{$\frac{x}{\text{m}}$} 
\PSFM{W}{$\frac{W}{\text{J}}$}
\PSFM{Wp}{$W_{\text{p}}$} \PSFM{Wk}{$W_{\text{k}}$} 
\PSFM{Ws}{$W_{\text{S}}$} 
\PSFM{Wg}{$W_{\text{ges}}$}   
}
\item Die maximale Seildehnung ist $\Delta x=3\,\text{m}$.
\[W_{\text{ges}}=mgx_{2}\quad\DANN\quad
  m=\frac{W_{\text{ges}}}{gx_{2}}=
    \frac{9000\,\text{J}}{10\,\RFRAC{N}{kg}\cdot 9\,\text{m}}=
    100\,\text{kg}\]
\[\frac{D}{2}\Delta x^{2}=W_{\text{ges}}=mgx_{2}\quad\DANN\quad
  D=\frac{2mgx_{2}}{\Delta x^{2}}=
    \frac{2\cdot 9000\,\text{J}}{9\,\mathrm{m^{2}}}=2000\,\RFRAC{N}{m}\]
Die Geschwindigkeit wird gr"o"ser, solange die Beschleunigung nach unten (in
Richtung der $x$-Achse) zeigt, d.h. $a(x)>0$ f"ur $x<x_{3}$ und 
$a(x)<0$ f"ur $x>x_{3}$. Es gilt also $a(x_{3})=0$ und damit $F(x_{3})=0$.
\[F(x_{3})=mg-D\cdot\Delta x_{3}=0\quad\DANN\quad
 \Delta x_{3}=\frac{mg}{D}=
  \frac{100\,\text{kg}\cdot 10\,\RFRAC{N}{kg}}{2000\,\RFRAC{N}{m}}=
  0{,}5\,\text{m}\]
Es gilt also $x_{3}=x_{1}+\Delta x_{3}=6{,}5\,\text{m}$
\end{enumerate}
}
