\ANG{
Wasserballastbahnen nutzen die Schwerkraft. Nach diesem Prinzip funktioniert die Nerobergbahn in
Wiesbaden. Dabei sind die beiden Z{\"u}ge, wie im Schema gezeigt, {\"u}ber ein Zugseil, das {\"u}ber
eine Umlenkrolle l{\"a}uft, miteinander verbunden. An der Tal-- und Bergstation befinden sich Wasserreservoire
mit den Volumina von $220\,\mathrm{m}^3$ bzw. $370\,\mathrm{m}^3$. Die Masse eines Wagens betr{\"a}gt
$8100\,\mathrm{kg}$, er kann mit maximal $7000\,\mathrm{l}$ Wasser beladen werden und kann maximal 40 Personen aufnehmen.
Die Strecke weist eine Länge von $438\,\mathrm{m}$, eine H{\"o}hendifferenz von $83\,\mathrm{m}$ und
eine durchschnittliche Steigung von $19\%$ auf.

\begin{figure}[h]
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.25]{meob00161.eps}
  \includegraphics[scale=0.25]{meob00162.eps}
  \includegraphics[scale=0.25]{meob00163.eps}\\
  %\renewcommand{\figurename}{Quelle}
  %\caption*{Quelle: \texttt{http://de.wikipedia.org/wiki/Nerobergbahn}}
  Quelle: \texttt{http://de.wikipedia.org/wiki/Nerobergbahn}
\end{figure}

\begin{enumerate}
    \item Erkl{\"a}re worin der Vorteil der Nerobergbahn liegt. Wie viel Energie spart man pro
          Fahrt gegenüber einer herkömmlichen Bahn ein (dabei sollen die Passagiere,
          die Haft--, Roll-- sowie die  Luftreibung vernachl{\"a}ssigt werden)?
          Wie viel Geld ist das bei einem
          Tarif von $18\,\frac{\mathrm{Cent}}{\mathrm{kWh}}$?
    \item Wieso muss der Wagenführer an der Talstation vor Fahrtantritt
          dem Personal an der Bergstation mitteilen
          wie viele Fahrg{\"a}ste sich in seinem Wagen befinden?
    \item Obwohl urspr{\"u}nglich geplant war das Wasser zum Beladen des Wagens an der Bergstation
          einem Bach zu entnehmen, wird es inzwischen von einer Pumpe mit der F{\"o}rderleistung von
          $65\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ von der Talstation zur Bergstation gepumpt. Welche elektrische
          Leistung in der Einheit $1\,\mathrm{W}$ ist n{\"o}tig um die Pumpe zu betreiben und wie lange dauert
          es bis das maximale Fassungsverm{\"o}gen von $7000\,\mathrm{l}$ eines Wagens nach oben gepumpt ist?
    \item Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Bahn beträgt $7{,}3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
          Wie lange braucht die Bahn f{\"u}r eine Fahrt?
    \item Obwohl der Tank eines Wagens nur maximal $7{,}0\,\mathrm{m}^3$ Wasser fassen kann ist das Fassungsverm{\"o}gen
          der Wassertanks an Tal-- und Bergstation wesentlich gr{\"o}{\ss}er. Wieso macht man das so?
%    \item Ermittle (eventuell zeichnerisch) wie gro{\ss} die durchschnittliche Zugkraft ist?
          %%Wieso ist die tats{\"a}chliche Fahrzeit von $3{,}5\,\mathrm{min}$ etwas gr{\"o}{%\ss}er?
    \item Wenn die beiden Wagons genau die gleiche Masse haben, so kommt (auch wenn man die Haftreibung vernachlässigt) keiner der beiden Wagen in Bewegung.
          Um wie viel mehr Masse muss der Wagen an der Bergstation haben, damit er nach $30\,\mathrm{s}$
          eine Geschwindigkeit von $9{,}0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ erreicht?
    \item Welchen Grund kann es haben, dass die Bahn ihre Geschwindigkeit {\"a}ndert, nachdem sie ihre
          anf{\"a}ngliche Beschleunigungsphase hinter sich hat (das Bremsen vor der Talankunft ist hier nicht gemeint)?
\end{enumerate}

Hinweis: Die Nerobergbahn wurde am 25. September 1888 er{\"o}ffnet und ist
als letzte Bergbahn diesen Typs in Deutschland heute ein technisches Kulturdenkmal.
}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item Die Gewichtskraft der herabfahrenden Bahn und der ihn ihr enthaltenen Passagiere
        wird genutzt um die talw{\"a}rts stehende Bahn samt Passagiere hinaufzuziehen.

        Energieeinsparung: $8100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}\cdot83\,\mathrm{m}=6{,}6\,\mathrm{MJ}$.
        Die Kosten für diese Energie betragen 33 Cent. Somit braucht es einen nicht zu wundern, dass
        alle anderen als Wasserballastbahnen konzipierten Bergbahnen in Deutschland inzwischen auf elektrischen
        Betrieb umgestellt haben. Auch bei der Nerobergbahn war dies geplant, aber der Ausbruch des 2. Weltkriegs
        durchkreuzte dieses Vorhaben.
  \item Damit die Bahn funktioniert muss der Wagen an der Bergstation eine gr{\"o}{\ss}ere Masse haben, als
        der Wagen an der Talstation. Andererseits soll sie gerade so viel gr{\"o}{\ss}er sein wie n{\"o}tig,
        da Wasser das mit hinunter genommen wird, wieder nach oben gepumpt werden muss. Um die zuzuladende
        Wassermenge zu berechnen muss der Fahrer des Wagens an der Bergstation eigentlich sogar die Masse
        aller seiner Fahrg{\"a}ste, die Masse der Fahrg{\"a}ste im talseitigen Wagon und
        s{\"a}mtliche Reibungsverluste kennen. Au{\ss}erdem muss er Masse zum Beschleunigen seines Wagens einplanen.
  \item Leistung: $P=\frac{m\,g\,h}{t}=\frac{\varrho\,V\,g\,h}{t} = \frac{65\cdot10^3\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}\cdot83\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}=15\,\mathrm{kW}$

        Zeit: $t=\frac{7}{65}\cdot 1\,\mathrm{h}=6{,}5\,\mathrm{min}$
  \item Fahrtdauer: $t=\frac{s}{v}=\frac{438\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{km}\mathrm{h}^{-1}}=3{,}5\,\mathrm{min}$
  \item Zwar dauert es etwa doppelt so lang die $7000\,\mathrm{l}$ Wasser hinaufzupumpen wie die Bahn
        unterwegs ist, aber man kann wohl getrost davon ausgehen,
        dass die Zeit zwischen zwei Fahrten gr{\"o}{\ss}er als 4 Minuten ist, wenn man vor allem bedenkt,
        dass das Wasser in die Wagen bzw. aus ihnen gepumpt werden muss.

        Der Grund f{\"u}r das gro{\ss}e Wasservolumen der Vorratsbeh{\"a}lter d{\"u}rfte darin
        liegen den Betrieb auch dann sicherzustellen, wenn die Pumpe ausf{\"a}llt. So kann
        man 32 ($\lfloor220:7\rfloor+1$) Fahrten ohne Pumpenbetrieb durchf{\"u}hren, wenn man kein Wasser wegsch{\"u}tten will.
  \item $t=\frac{v}{a}=\frac{v}{\frac{F}{2\,m+\Delta m}}=\frac{v}{\frac{\sin\alpha\cdot g\,\Delta m}{2\,m+\Delta m}}=\frac{2\,m+\Delta m}{\Delta m}\cdot\frac{v}{\sin\alpha\cdot g}\quad\Rightarrow\quad \Delta m = \frac{2\,m\,v}{\sin\alpha\cdot g\,t-v}\cdot m = \frac{2\,m\,v}{0{,}19\cdot g\,t-v}\cdot m=0{,}76\,\mathrm{t}$

        Sofern der Sinus noch ist bekannt ist muss die Hangabtriebskraft entweder {\"u}ber eine ma{\ss}t{\"a}bliche Zeichnung oder
        {\"u}ber die {\"A}hnlichkeit von Dreiecken ermittelt werden.
  \item Die Steigung der Strecke ist nicht konstant. So betr{\"a}gt die maximale Steigung der Bahn $26\%$.
\end{enumerate}

}
