\ANG{
\parbox[t]{0.6\textwidth}{
Im folgenden ist $\varrho=1{,}2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ die Dichte von Luft,
$r$ der Radius eines Rotorblatts einer Windkraftanlage, und $A$ der Fl\"{a}cheninhalt der von den Rotorbl\"{a}ttern w\"{a}hrend einer Rotation \"{u}berstrichenen Fl\"{a}che, die wir kurz Rotorfl\"{a}che nennen.
$v_1$ ist die Geschwindigkeit vor bzw. $v_2$ die nach dem Durchgang des Windes durch die Rotorfl\"{a}che.

\begin{enumerate}
  \item Wir nehmen an, dass der Wind mit der Geschwindigkeit $v=\frac{v_1+v_2}{2}$ durch die Rotorfl\"{a}che str\"{o}mt.
        Gib unter dieser Annahme einen Term f\"{u}r die Masse des Windes an, der sich w\"{a}hrend einer Zeitspanne $t$ durch die Rotorfl\"{a}che bewegt.
  \item Wie lautet der Term f\"{u}r den Energieverlust des Windes beim Durchgang durch die Rotorfl\"{a}che? Welche maximale Leistung ergibt sich daraus f\"{u}r die Anlage?
  \item Vereinfache das Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe unter Verwendung der Abk\"{u}rzungen $P_0=\frac{1}{2}\,\varrho\,A\,v_1^3$ f\"{u}r die Leistung des bei der Rotorfl\"{a}che ankommenden Windes und
        der dimensionslosen Gr\"{o}{\ss}e $x=\frac{v_2}{v_1}$.
  \item Ermittle $x$ so, dass der Term aus der vorhergehenden Aufgabe maximal wird.
  \item Welche maximale Leistung liefert die Anlage, wenn $r=20\,\mathrm{m}$ und $v_1=16\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ sind?
\end{enumerate}
%Rotordurchmesser $40\,\mathrm{m}$--$90\,\mathrm{m}$.

%%Windgeschwindigkeit $12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$--$16\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
}\hspace{0.05\textwidth}
\parbox[t]{0.35\textwidth}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{meob0023.eps}
\end{center}
}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item $m=A\,v\,t\,\varrho$
  \item $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}\,m\,\left(v_1^2-v_2^2\right)=\frac{1}{2}\,A\,v\,t\,\varrho\,\left(v_1^2-v_2^2\right), P=\frac{1}{2}\,A\,v\,\varrho\,\left(v_1^2-v_2^2\right)$
  \item $P=P_0\cdot\frac{1}{2}\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)$

        Hinweis: $c_{P}=\frac{1}{2}\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)$ wird Leistungsbeiwert genannnt.
  \item Ermittlung von $x=\frac{1}{3}$ entweder mit den Mitteln der Differentialrechnung oder durch Ablesen aus
        einem $x$--$\frac{P}{P_0}$--Diagramm ($x\in\left[0;1\right], \frac{P}{P_0}\in[0;0{,}8]$).
  \item $P=\frac{16}{27}\,P_0=1{,}6\,\text{MW}$

        Hinweis: Bei Geschwindigkeiten gr\"{o}{\ss}er als $16\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ treten Turbolenzen auf so, dass $P$ praktisch auch
        in etwa die maximale Leistung ist.
\end{enumerate}
}
