\ANG{
\EPSR{8cm}{merr312}{6cm}{}{
\PSFM{s}{$s$} \PSFM{v1}{$v_{1}$} \PSFM{v2}{$v_{2}$} \PSFM{m}{$m_{0}$}
\PSFM{F}{$F$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{0}{0} 
}{%\parfillskip0pt
Luke Skywalker verfolgt Darth Vader mit seinem X-Fl"ugler. Als seine Maschine
immer langsamer wird, schie"st er eine Rakete der Anfangsmasse
$m_{0}=150\,\text{kg}$ auf 
den Verfolgten ab. Die Abbildung zeigt die Lage zur Zeit des
Abschusses ($t=0$): $v_{1}=400\,\RFRAC{m}{s}$,  $v_{2}=500\,\RFRAC{m}{s}$,
$s=44{,}0\,\text{m}$. 
}
\begin{enumerate}
\item Die Beschleunigung der Rakete w"ahrend des ganzen Fluges ist konstant 
$a=50{,}0\,\RFRAC{m}{s^{2}}$. Wann und wo trifft die Rakete auf Darth Vaders
Raumschiff, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt? Welche
Aufprallgeschwindigkeit $v_{\text{a}}$ der Rakete misst 
Darth Vader im System seines Raumschiffs?
\item Wie gro"s ist die Antriebskraft $F$ der Rakete zur Zeit $t=0$? Warum ist
  $F(t)$ nicht konstant?
\item Die Rakete st"o"st die Treibgase mit der Geschwindigkeit
  $u=900\,\RFRAC{m}{s}$ relativ zur Rakete aus. Welche ungef"ahre Masse 
  $\Delta m$ haben
  die Treibgase, die in den ersten $\Delta t=0{,}1\,\text{s}$ nach dem Start
  ausgesto"sen werden? 
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Wahl der $x$-Achse so, dass die Rakete beim Start bei $x=0$ ist.\\[2mm] 
  Rakete: $x_{1}(t)=v_{1}t+\frac{a}{2}t^{2}$,\quad Darth Vader:
  $x_{2}(t)=s+v_{2}t$\\[2mm]
  $\D v_{1}t+\frac{a}{2}t^{2}=s+v_{2}t\quad\DANN\quad$\\[2mm]
  $\D t^{2}-2\frac{(v_{2}-v_{1})}{a}t+\frac{(v_{2}-v_{1})^{2}}{a^{2}}=
   \frac{2s}{a}+\frac{(v_{2}-v_{1})^{2}}{a^{2}}=
   \frac{2sa+(v_{2}-v_{1})^{2}}{a^{2}}$
\begin{align}
   t &= \frac{v_{2}-v_{1}}{a}\PNM\frac{1}{a}\sqrt{2sa+(v_{2}-v_{1})^{2}}=
   \frac{100\,\RFRAC{m}{s}}{50\,\RFRAC{m}{s^{2}}}\PNM
   \frac{1}{50\,\RFRAC{m}{s^{2}}}
   \sqrt{4400\,\RFRAC{m^{2}}{s^{2}}+\left(100\,\RFRAC{m}{s}\right)^{2}}=
   \nonumber\\
   &= 2\,\text{s}\PNM
   \frac{1}{50\,\RFRAC{m}{s^{2}}}
   \sqrt{14400\,\RFRAC{m^{2}}{s^{2}})^{2}}=
   2\,\text{s}\PNM\frac{120\,\text{s}}{50}=4{,}4\,\text{s}\nonumber
\end{align}
Treffpunkt:\quad$\D x_{2}(4{,}4\,\text{s})=44\,\text{m}+500\,\RFRAC{m}{s}\cdot
4{,}4\,\text{s}= 2244\,\text{m}$\\[2mm]
Aufprallgeschwindigkeit: $\D v_{\text{R}}=v_{1}+at=
 400\,\RFRAC{m}{s}+50\,\RFRAC{m}{s^{2}}\cdot 4{,}4\,\text{s}=
 620\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
Aufprallgeschwindigkeit: $\D v_{\text{a}}=v_{\text{R}}-v_{2}=
 120\,\RFRAC{m}{s}$
\item Zur Zeit $t=0$ ist die Masse der Rakete $m(0)=m_{0}$, d.h. die
  Antriebskraft zur Zeit $t=0$ ist $F_{0}=m_{0}a=7500\,\text{N}$. Da die
  Raketenmasse immer 
  kleiner wird (Aussto"s der Treibgase), wird wegen $a=\text{konstant}$
  auch $F(t)=m(t)\cdot a$ immer kleiner.
\item Nach dem Impulssatz sind die Betr"age der Impuls"anderungen von Rakete
  und Treibgasen gleich: 

  $\D\Delta p_{\text{Rakete}}=m(\Delta t)v(\Delta t)\approx m_{0}a\Delta t=
  F_{0}\Delta t=\Delta mu\quad\DANN\quad 
  \Delta m\approx \frac{F_{0}\Delta t}{u}=0{,}83\,\text{kg}$
\end{enumerate}


}
