\ANG{
\begin{enumerate}
\item Ein elektrisches Feld mit dem Betrag $E=3{,}00\cdot 10^{4}\,\RFRAC{V}{m}$
zeigt in die Richtung von 
$\RPUNKT{P}{-2{,}00\,{\rm m}}{3{,}00\,{\rm m}}{1{,}00\,{\rm m}}$ nach
$\RPUNKT{Q}{-5{,}00\,{\rm m}}{-3{,}00\,{\rm m}}{4{,}00\,{\rm m}}$. 
Berechne $\vec E$.
\item Ein Flugzeug startet mit $v=2{,}30\cdot10^{2}\,\frac{\rm km}{\rm h}$ 
genau nach NNO mit einem Steigungswinkel von $\varphi=22{,}5^{\circ}$ 
gegen den Boden. Berechne $\vec v$.
\end{enumerate}

}
\LSG{
% Loesung zu 12a0205
\begin{enumerate}
\item Der Einheitsvektor in Feldrichtung ist 
$\D\vec{e}=\frac{\VPFEIL{\mathrm{PQ}}}{|\mathrm{PQ}|}=
\frac{1}{3\sqrt{6}}\RVEKTOR{r}{-3}{-6}{3}=
\frac{\sqrt{6}}{6}\RVEKTOR{r}{-1}{-2}{1}$
\[\vec{E}=E\cdot\vec{e}=5000\sqrt{6}\,\RFRAC{N}{C}\RVEKTOR{r}{-1}{-2}{1}=
  \RVEKTOR{r}{-1{,}22\cdot 10^{4}}{-2{,}45\cdot 10^{4}}
  {1{,}22\cdot 10^{4}}\,\RFRAC{N}{C} 
\]
\item \EPSR{7cm}{elrr022L}{5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{z}{$z$} 
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{N}{N} \PSFM{yr}{$y_{r}$} 
\PSFM{O}{O} \PSFM{NNO}{NNO} \PSF{o}{oben} 
\PSFM{xr}{$x_{r}$} \PSFM{r}{$\vec{r}$} 
\PSFM{fi}{$22{,}5^{\circ}$} \PSFM{zr}{$z_{r}$} 
\PSFM{T1}{$\overline{\mathrm{AB}}=|\vec{e}|\cdot\cos\varphi=\cos\varphi$} 
}{$\vec{e}$ ist ein Einheitsvektor, der in die Richtung von $\vec{v}$
zeigt. Mit $\varphi=22{,}5^{\circ}$ und $|\vec{e}|=1$ folgt aus der
Abbildung $\overline{\mathrm{AB}}=\cos\varphi$ und damit
\[\vec{e}=\RVEKTOR{c}{\sin\varphi\cos\varphi}{\cos^{2}\varphi}{\sin\varphi}\]
Probe:
\begin{align*}
  e=|\vec{e}|&=\sqrt{\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi+\cos^{4}\varphi+\sin^{2}\varphi}=\\
             &=\sqrt{\cos^{2}\varphi
  \underbrace{(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)}_{1}+\sin^{2}\varphi}=1
\end{align*}
}
\[\vec{v}=v\cdot\vec{e}=
  v\,\RVEKTOR{c}{\sin\varphi\cos\varphi}{\cos^{2}\varphi}{\sin\varphi}=
  \RVEKTOR{c}{81{,}3}{196}{88{,}0}\,\RFRAC{km}{h}  
\]
\end{enumerate}

}
