\ANG{
{\bfseries Informationstheoretisches Modell der elektrischen Wechselwirkung}\\[2mm]
\EPSR{8cm}{elrr4661}{6cm}{}{
\PSFM{r}{$r$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{q}{$q$} \PSFM{m}{$m$}
\PSFM{A}{$A$} \PSFM{m}{$m$}
}{%\vspace{-7mm} 
In der Zeit $\Delta t$ sendet jede Elementarladung $\Delta n=\alpha\Delta t$
Informationspakete (IPAs) gleichm"a"sig in alle Richtungen verteilt aus. Jedes Teilchen
der Ladung $q$ und der Masse $m$ hat pro Elementarladung die
\GF{Antennenfl"ache} $A_{0}$. Jedes IPA, das von einer
Ladung $Q$ ausgesandt wurde und auf die gesamte
Antennenfl"ache $A$ des Teilchens trifft, "ubermittelt die Information 
($m_{\text{e}}$ ist die Elektronenmasse):
}\\[-3mm]
\begin{center}\fbox{\parbox[t]{14cm}{
\GF{Erh"ohe deine Geschwindigkeit in meine Bewegungsrichtung um
$\D\frac{v_{0}m_{\text{e}}}{m}$, wenn du gleichnamig geladen bist wie mein
Absender, sonst in die Gegenrichtung.}}}  
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Beantworte zun"achst folgende Fragen
  \begin{itemize}
  \item Wie viele IPAs $\Delta n_{Q}$ sendet ein Teilchen A mit
    der Ladung $Q$ in der Zeit $\Delta t$ aus?
  \item Welche Antennenfl"ache $A$ hat ein Teilchen B der Ladung $q$?
  \item Wie viele IPAs $\Delta n_{q}$ treffen auf Teilchen B, wenn
    $\overline{\text{AB}}=r$ ist?
  \item Welche Geschwindigkeits"anderung $\Delta v$ erf"ahrt B in der Zeit
    $\Delta t$?
  \end{itemize}
und zeige dann, dass unser Modell das Coulombgesetz erkl"art.
%Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Konstanten $\alpha$, $A_{0}$ und $v_{0}$
%unseres Modells und den Naturkonstanten $e$, $\varepsilon_{0}$ und
%$m_{\text{e}}$?
Beweise dabei den Zusammenhang 
$\D A_{0}\alpha v_{0}m_{\text{e}}\varepsilon_{0}=e^{2}$.
\item Wir nehmen an, dass eine Elementarladung pro Planckzeit 
$t_{\text{p}}=1{,}35\cdot 10^{-43}\,\text{s}$ ein IPA
aussendet. Wie gro"s ist dann $\alpha$? F"ur $A_{0}$ w"ahlen wir die 
\GF{klassische Elektronenfl"ache} $A_{0}=2{,}5\cdot 10^{-29}\,\text{m}^{2}$.
Berechne $v_{0}$.
\item Welche  Abweichungen vom Coulombgesetz ergeben sich mit unserem Modell
  f"ur gro"se Entfernungen? Berechne dazu die Zahl der IPAs, die pro Sekunde an
  der Wechselwirkung zweier Elektronen in der Entfernung $r=3{,}8\cdot 10^{6}\,\text{m}$
  beteiligt sind. Vergleiche auch die Beschleunigungen $a_{\text{Coulomb}}$
  und $a_{\text{IPA}}$ eines der beiden Elektronen, die nach beiden Theorien
  zu erwarten sind.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\Delta n_{Q}=\frac{Q}{e}\cdot\alpha\Delta t$\\[2mm]
$\D A=\frac{q}{e}\cdot A_{0}$\\[2mm]
$\D\Delta n_{q}=\frac{A}{4\pi r^{2}}\Delta n_{Q}=
\frac{qA_{0}}{4\pi er^{2}}\cdot\frac{Q\alpha\Delta t}{e}=
\frac{qQA_{0}\alpha\Delta t}{4\pi e^{2}r^{2}}$\\[2mm]
$\D\Delta v=\Delta n_{q}\cdot\frac{v_{0}m_{\text{e}}}{m}=
\frac{qQA_{0}\alpha v_{0}m_{\text{e}}\Delta t}{4\pi
  me^{2}r^{2}}$\\[2mm]
Kraft auf B:\quad $\D F=ma=m\cdot\frac{\Delta v}{\Delta t}=
\frac{A_{0}\alpha v_{0}m_{\text{e}}}{4\pi e^{2}}\cdot\frac{qQ}{r^{2}}$. Das
entspricht genau dem Coulombgesetz, wenn
\[\varepsilon_{0}=\frac{e^{2}}{A_{0}\alpha v_{0}m_{\text{e}}}
  \quad\text{oder}\quad
  A_{0}\alpha v_{0}=\frac{e^{2}}{m_{\text{e}}\varepsilon_{0}}
\]
ist.
\item $\D\alpha=\frac{1}{t_{\text{p}}}=7{,}4\cdot 10^{42}\,\RFRAC{1}{s}$,
\qquad
$\D v_{0}=\frac{e^{2}}{m_{\text{e}}\varepsilon_{0}A_{0}\alpha}=
1{,}7\cdot 10^{-11}\,\RFRAC{m}{s}$
\item $\D A=A_{0}\QDQ \frac{\Delta n_{q}}{\Delta t}=
\frac{e^{2}A_{0}\alpha}{4\pi e^{2}r^{2}}=
\frac{A_{0}\alpha}{4\pi r^{2}}=1{,}0\,\RFRAC{1}{s}$\\[2mm]
Die Wechselwirkung mit den IPAs erfolgt f"ur gro"se Entfernungen
sprunghaft!\\[2mm]
$\D a_{\text{Coulomb}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}m_{\text{e}}}=1{,}754\cdot
10^{-11}\,\RFRAC{m}{s^{2}}$,\quad
$\D a_{\text{IPA}}=\frac{v_{0}}{1\,\text{s}}=1{,}724\cdot
10^{-11}\,\RFRAC{m}{s^{2}}$
\end{enumerate}
} 
