\ANG{
\EPSR{9cm}{elrr024}{5cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} 
\PSFM{K}{K} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
}{
An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der
Seitenl"ange $a$ sitzt je ein Elektron, im Schwerpunkt K des Dreiecks ruhen 
drei Protonen (\GF{Atomkern}). Berechne die Kr"afte (Betrag und vektoriell) auf
die Elektronen und auf den Kern! F"ur welche Kernladung w"are das System im
Gleichgewicht?
}

}
\LSG{
% Loesung zu 12a0206
\EPSR{6cm}{elrr024L}{7cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} 
\PSFM{K}{K} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{fi}{$30^{\circ}$} \PSFM{FA}{$\vec{F}_{\mathrm{A}}$} 
\PSFM{FB}{$\vec{F}_{\mathrm{B}}$} \PSFM{FC}{$\vec{F}_{\mathrm{C}}$} 
\PSFM{F1}{$\vec{F}_{1}$} \PSFM{F2}{$\vec{F}_{2}$} 
}{
Der Betrag der Kraft des Elektrons A auf das Elektron C ist 
$\D F_{1}=\frac{k\,e^{2}}{a^{2}}$. 
Die Elektronen A und B "uben auf das Elektron C
die Kraft $F_{2}$ aus:
\begin{align*}
F_{2}&=2\cdot F_{1}\cos 30^{\circ}=\\
     &=2\cdot F_{1}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}=
   \frac{k\,e^{2}\sqrt{3}}{a^{2}}
\end{align*}
Der Betrag der Gesamtkraft auf das Elektron C ist mit 
$\D r=\overline{\mathrm{KC}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
\begin{align*}
F_{\mathrm{C}}&=F_{\mathrm{Kern}}-F_{2}=\\
     &=\frac{k\cdot 3\,e\cdot e}{r^{2}}-
   \frac{k\,e^{2}\sqrt{3}}{a^{2}}=
   \frac{k\,e^{2}}{a^{2}}\,(9-\sqrt{3})
\end{align*}
Wegen $F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{B}}=F_{\mathrm{C}}$ ist
}
\[\vec{F}_{\mathrm{A}}=\frac{F_{\mathrm{C}}}{2}\,\EVEKTOR{c}{\sqrt{3}}{1},\quad
  \vec{F}_{\mathrm{B}}=\frac{F_{\mathrm{C}}}{2}\,\EVEKTOR{c}{-\sqrt{3}}{1},\quad
  \vec{F}_{\mathrm{C}}=F_{\mathrm{C}}\EVEKTOR{r}{0}{-1}
\]
Die Gesamtkraft auf den Kern ist 
$\D
F_{\mathrm{K}}=-(F_{\mathrm{A}}+F_{\mathrm{B}}+F_{\mathrm{C}})=\EVEKTOR{c}{0}{0}$\\[2mm]
Das System ist im Gleichgewicht, wenn 
\[ F_{\mathrm{C}}=\frac{3\,k\cdot Q_{\mathrm{Kern}}\,e}{a^{2}}-
   \frac{k\,e^{2}\sqrt{3}}{a^{2}}=0,\quad\text{d.h. f"ur}\quad
   \D Q_{\mathrm{Kern}}=\frac{e}{\sqrt{3}}
\]
}
