\ANG{
\EPSR{9cm}{elrr031}{5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{z}{$z$} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{P1}{P$_{1}$} \PSFM{P2}{P$_{2}$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{ma}{$-a$} 
}{
Die Punktladungen $Q_1=Q$ und $Q_2=-Q$ sitzen an den Orten
$\RPUNKT{P_1}{a}{0}{0}$ und $\RPUNKT{P_2}{-a}{0}{0}$. Das von $Q_1$
und $Q_2$ erzeugte Feld hei"st {\bf Dipolfeld}. 
\begin{enumerate}
\item Dr"ucke $\vec E(\vec r)$ durch $Q$, $x$, $y$, $z$ und $a$ aus. 
\item Berechne $\vec E(\vec r_1)$ f"ur $\D \vec
r_1=\RVEKTOR{c}{18}{16}{16}\,$cm,\\[2mm]
 $a=10\,$cm und 
$\D\frac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon_0}=0{,}27\,$Vm.
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}
\item[(c)] Berechne  $\vec E(\vec r)$ und $E(\vec{r})=|\vec E(\vec r)|$ auf der
$x$-Achse, d.h. f"ur $y=z=0$. Unterscheide die F"alle $x<-a$, $-a<x<a$ und 
$x>a$. Skizziere die $x$-Koordinate $E_{x}(x)$ qualitativ f"ur
$Q>0$. Mit welcher Potenz f"allt $E(x)$ f"ur $x\gg a$ ab?
\item[(d)] Berechne $\vec E(\vec r)$ und $E=|\vec E(\vec r)|$ in der
$yz$-Ebene, d.h. f"ur $x=0$.\\
Mit welcher Potenz f"allt $E(r)$ ($r=\sqrt{y^2+z^2}$) f"ur $r\gg a$ ab?
\item[(e)] Berechne $\vec E(\vec r)$ in der $yz$-Ebene, wenn $Q_1=Q_2=Q$
gilt.\\ 
Mit welcher Potenz f"allt $E(r)$ ($r=\sqrt{y^2+z^2}$) f"ur $r\gg a$ ab?
\end{enumerate}}
\LSG{
% Loesung zu 12a0212
\begin{enumerate}
\item $\D\vec{E}(\vec{r})=\frac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot\left[
  \frac{1}{\left[(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}
  \RVEKTOR{c}{x-a}{y}{z}-
  \frac{1}{\left[(x+a)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}
  \RVEKTOR{c}{x+a}{y}{z}\right]$
\item
  $\D\vec{E}(\vec{r_{1}})=\RVEKTOR{r}{-0{,}06}{2{,}2}{2{,}2}\RFRAC{V}{m}$
\item $\D\vec{E}(\vec{r})=\frac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot\left[
  \frac{1}{|x-a|^{3}}\RVEKTOR{c}{x-a}{0}{0}-
  \frac{1}{|x+a|^{3}}\RVEKTOR{c}{x+a}{0}{0}\right]$\\[2mm]
  $E_{y}=E_{z}=0$, $\D E_{x}(x)=\frac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot
  \left(\frac{x-a}{|x-a|^{3}}-\frac{x+a}{|x+a|^{3}}\right)$, 
  $E(x)=|E_{x}(x)|$\\
  \EPSR{7cm}{elrr031L}{5cm}{}{
  \PSFM{1}{$a$} \PSFM{m1}{$-a$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{Ex}{$E_{x}$} 
  }{Drei F"alle f"ur $E_{x}(x)$:\\[2mm]
  $\D E_{x}(x)=\begin{cases}
  \D -\frac{Q\,a\,x}{\pi\,\varepsilon_{0}\,(x^{2}-a^{2})^{2}} &
  \text{f"ur $x<-a$}\\
  &\\
  \D -\frac{Q\,(x^{2}+a^{2})}{2\,\pi\,\varepsilon_{0}\,(x^{2}-a^{2})^{2}} &
  \text{f"ur $-a<x<a$}\\
  &\\
  \D \frac{Q\,a\,x}{\pi\,\varepsilon_{0}\,(x^{2}-a^{2})^{2}} &
  \text{f"ur $x>a$}
  \end{cases}$\\[2mm]
  F"ur $x\gg a$ kann man $a^{2}$ in der Differenz im Nenner gegen
  $x^{2}$ vernachl"assigen und es gilt
  \[ E(x)=|E_{x}(x)|\approx\frac{Q\,a}{\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot
  \frac{1}{x^{3}}\]
  }
\item $\D\vec{r}=\RVEKTOR{c}{0}{y}{z}\quad\DANN\quad
  \vec{E}(\vec{r})=\frac{-Q\,a}{2\,\pi\varepsilon_{0}\cdot\left[
  a^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\cdot\RVEKTOR{c}{1}{0}{0}$\\[2mm]
  $\D |\vec{E}|=\frac{|Q\,a|}{2\,\pi\varepsilon_{0}\cdot\left[
  a^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$
\item $\D\vec{r}=\RVEKTOR{c}{0}{y}{z}\quad\DANN\quad
  \vec{E}(\vec{r})=\frac{Q}{2\,\pi\varepsilon_{0}\cdot\left[
  a^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\cdot\RVEKTOR{c}{0}{y}{z}$\\[2mm]
  $\D |\vec{E}|=\frac{|Q|\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2\,\pi\varepsilon_{0}\cdot\left[
  a^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$
\end{enumerate}
}
