\ANG{
\EPSR{9cm}{elrr035}{5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{z}{$z$} \PSFM{r}{$r$} 
}{
Eine Zylinderfl"ache mit Radius $r$ um die $x$-Achse ist die Punktmenge
\[Z=\{\mathrm{P}(\,x\,|\,y\,|\,z\,)\,|\,y^2+z^2=r^2\}\]
\parfillskip0pt
Eine Ladungsverteilung hei"st {\bf zylindersymmetrisch}, wenn die
Ladungsdichte $\varrho(r)$ auf jeder Zylinderfl"ache um die $x$-Achse konstant
ist. 
F"ur welche zylindersymmetrische Ladungsverteilung $\varrho(r)$ ist das
elektrische Feld im ganzen Raum {\bf betragsm"a"sig}
}\\[2mm]
konstant? Verwende als Gau"s'sche Fl"ache die Oberfl"ache eines Zylinders
der H"ohe $h$!}
\LSG{
% Loesung zu 12a0216
Die Ladung in einer d"unnen Schicht der Dicke d$r$ auf dem
Zylindermantel mit Radius $r$ und H"ohe $h$ ist 
\[\RMd Q=\varrho(r)\cdot 2\,\pi\,r\,h\,\RMd r\] 
Ist $Q(r)$ die
Gesamtladung innerhalb eines Zylinders mit Radius $r$ und H"ohe $h$,
dann ist also 
\[ Q'(r)=\frac{\RMd Q}{\RMd r}=2\,\pi\,\varrho(r)\,h\,r\]
Nach Gauss ist ($E_{0}$ ist das konstante Feld)
\[ Q'(r)=\frac{\RMd}{\RMd r}
   \left(2\,\pi\varepsilon_{0}\,E_{0}\,h\,r\right)=
   2\,\pi\varepsilon_{0}\,E_{0}\,h=
   2\,\pi\,\varrho(r)\,h\,r\quad\DANN\quad
   \varrho(r)=\frac{\varepsilon_{0}\,E_{0}}{r}
\]


}
