\label{elrr036}
\ANG{
\label{12a0217}{\bf Modell des Wasserstoffatoms}\\[1mm]
Ein einfaches Modell des H-Atoms sieht folgenderma"sen aus: Das Elektron ist
eine homogen geladene Kugel ($R\approx 10^{-10}\,$m), in deren Mittelpunkt das
Proton (Punktladung) sitzt.
\begin{enumerate}
\item Warum f"uhrt das Elektron eine harmonische Schwingung aus, wenn es
etwas aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird? Das Proton bleibt dabei wegen
seiner sehr viel gr"o"seren Masse praktisch in Ruhe! Berechne die Frequenz
$f$, mit der das Elektron schwingt.
\item Welches "au"sere Feld muss am Ort des H-Atoms mindestens wirken, damit
es ionisiert werden kann? Um welchen Bruchteil des Atomradiuses $R$ verschiebt
sich der Kern bei dem "au"seren Feld $E^{*}=10^5\,\frac{\rm V}{\rm m}$ aus
seiner Ruhelage ({\bf Polarisation})?
\end{enumerate}}
\LSG{
% Loesung zu 12a0217
\begin{enumerate}
\item Aus Aufgabe \ref{elrr033} folgt f"ur das Feld des Elektrons
\[ E(r)=\left\{\begin{array}{cl}
  \D\frac{-e}{4\,\pi\varepsilon_{0}\,R^{3}}\cdot r   & \text{ f"ur $0\leqq r<R$}\\[3mm]
  \D\frac{-e}{4\,\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{ f"ur $r>R$}
\end{array}\right.\]
In einem mit dem Elektron fest verbundenen Koordinatensystem wirkt
dann f"ur $r<R$ auf das Proton die Kraft 
\[ F(r)=E(r)\cdot e=-D\cdot r\quad\text{mit}\quad 
   D=\frac{e^{2}}{4\,\pi\varepsilon_{0}\,R^{3}}
\]
Nach Newton 3 (Actio gegengleich Reactio) wirkt dann in einem mit dem
Proton verbundenen System die gleiche r"ucktreibende Kraft auf das
Elektron. Da das Proton praktisch in Ruhe bleibt, ist als schwingende
Masse die Elektronenmasse einzusetzen:
\[ f=\frac{1}{2\,\pi}\sqrt{\frac{D}{m_{\mathrm{e}}}}=
     \frac{e}{4\,\pi\,R\sqrt{\pi\,\varepsilon_{0}\,m_{\mathrm{e}}\,R}}=
     2{,}5\cdot 10^{15}\,\mathrm{Hz}
\]
\item Mit dem "au"seren Feld $E^{*}$ ist die Gesamtkraft auf das
  Proton
\[
F_{\mathrm{ges}}(r)=E^{*}\,e-\frac{e^{2}}{4\,\pi\varepsilon_{0}\,R^{3}}\cdot 
r
\]
\[ F_{\mathrm{ges}}(r)=0\quad\DANN\quad
   r=\frac{4\,\pi\varepsilon_{0}\,R^{3}\,E^{*}}{e}=
   6{,}9\cdot 10^{-17}\,\mathrm{m}   
\]
\end{enumerate}

}
