\ANG{
\EPSR{9cm}{elrr4651}{5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{mQ}{$-Q$} \PSFM{M}{M}
}{%\vspace{-7mm} 
Eine aus einem speziellem Nanomaterial gefertigte Kugel mit Mittelpunkt M und
dem Radius
$R=3{,}00\,\text{cm}$ tr"agt kontinuierlich "uber das Volumen verteilt die
positive Ladung $Q=4{,}01\cdot 10^{-10}\,\text{C}$. Konzentrisch 
zur Kugel ist eine d"unne, leitende Kugelschale mit Radius $2R$ angeordnet,
die die Ladung $-Q$ tr"agt.
\begin{enumerate}
\item Mit $q(r)$ bezeichnen wir die Ladung innerhalb einer Kugel  mit
  Mittelpunkt M und Radius $r$. Dr"ucke $q(r)$ durch $R$, $r$ und $Q$ aus und
  unterscheide dabei drei F"alle. 
\end{enumerate}
}\\
\vspace{-3mm} 
\begin{enumerate}
\item[(b)] Dr"ucke den Betrag $E(r)$ der elektrischen Feldst"arke in der
  Entfernung $r$ von M durch 
  \[E_{0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}},\] 
 $R$ und $r$ aus.\\
Zeichne den Grafen von $E(r)$ im Intervall $r\in[0\,;\,8\,\text{cm}]$ 
($E=E_{0}\,\widehat{=}\,4\,\text{cm}$).
\item[(c)] \EPSR{8cm}{elrr4653}{5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{e}{e$^{-}$}
}{
Durch den Mittelpunkt der Kugel ist ein d"unner Kanal gebohrt. Zeige, dass ein
in der nebenstehenden Abbildung zun"achst ruhendes Elektron eine harmonische
Schwingung ausf"uhrt und berechne deren Schwingungsdauer $T$.
}
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Ladung innerhalb einer Kugelschale mit Radius $r$ ist
\[q(r)=\begin{cases}
\D\frac{Qr^{3}}{R^{3}} &\quad\text{f"ur $r\leqq R$}\\
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}Q &\quad\text{f"ur $R<r<2R$}\\
0 &\quad\text{f"ur $r> R$}\\
\end{cases}\]
\item 
\[E(r)=\frac{q(r)}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\begin{cases}
\D\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\cdot r =E_{0}\cdot\frac{r}{R}&
  \quad\text{f"ur $r\leqq R$}\\
\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\D\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}
=E_{0}\cdot\frac{R^{2}}{r^{2}}&\quad\text{f"ur $R<r<2R$}\\
0 &\quad\text{f"ur $r> R$}\\
\end{cases}\]
\EPSR{5cm}{elrr4652}{8cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
\PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{}
\PSFM{0}{0} \PSFM{x}{$\frac{r}{\text{cm}}$} 
\PSFM{y}{\hspace*{-5mm}$\frac{E}{10^{3}\,\RFRAC{V}{m}}$}  
}{
$\D E_{0}=4{,}00\cdot 10^{3}\,\RFRAC{N}{C}$\\[2mm]
$\D E(4\,\text{cm})=\frac{9E_{0}}{16}=2{,}25\cdot 10^{3}\,\RFRAC{N}{C}$\\[2mm]
$\D E(5\,\text{cm})=\frac{9E_{0}}{25}=1{,}44\cdot 10^{3}\,\RFRAC{N}{C}$\\[2mm]
$\D E(6\,\text{cm})=\frac{E_{0}}{4}=1{,}00\cdot 10^{3}\,\RFRAC{N}{C}$\\[2mm]
}
\item $\vec{E}$ zeigt von M weg, die Kraft $\vec{F}=-e\vec{E}$ also immer zu M
  hin, d.h.
\[F(r)=-\frac{E_{0}e}{R}\cdot r=-D\cdot r\quad\text{mit}\quad
D=\frac{E_{0}e}{R}=2{,}14\cdot 10^{-14}\,\RFRAC{N}{m}\]
R"ucktreibende lineare Kraft $\DANN$ harmonische Schwingung mit 
\[\omega=\sqrt{\frac{D}{m_{\text{e}}}}=1{,}53\cdot 10^{8}\,\RFRAC{1}{s}\]
\[T=\frac{2\pi}{\omega}=4{,}10\cdot 10^{-8}\,\text{s}\]
\end{enumerate}
} 
