\ANG{
Eine homogen geladene Kugel (Mittelpunkt $M$) mit dem Radius 
$R = 5{,}00\,$m tr"agt die 
Gesamtladung $2Q$ mit $Q = 5{,}564 \cdot 10^{-4}\,$C. Auf einer zur Kugel 
konzentrischen Kugelschale mit dem Radius $3R$ befindet sich gleichm"a"sig 
verteilt die Ladung $-Q$.
Eine kleine Styroporkugel der Masse $m = 2{,}50\,$g tr"agt die Ladung 
$q = 3{,}00 \cdot 10^{-6}\,$C. $r$ sei die Entfernung von $M$, 
das Verh"altnis von $r$ zu $R$ sei $x$: $\D x=\frac{r}{R}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne den Betrag $E$ der Feldst"arke, ausgedr"uckt 
durch $x$ und die Konstante\\
$\alpha = \frac{\D Q}{\D 2\pi\epsilon_0 R^2}$. Zeichne $E(x)$.
\item $W$ ist die potentielle Energie der Ladung $q$ 
bez"uglich $r = 0$. Be\-rech\-ne $W(x)$ unter Ben"utzung der Abk"urzung 
$\beta=q\,\alpha\,R$. Be\-rech\-ne speziell $W\left(\frac{R}{2}\right)$, 
$W(R)$, $W(2R)$, $W(3R)$, 
$W(6R)$ und $W(\infty)$. Zeichne $W(x)$.
\item Die Styroporkugel startet bei $r_0$ mit $v_{0}=0$ 
und erreicht $r$ mit der Geschwindigkeit $v$. Berechne $v$ f"ur 
$r_0=0$ und $r=\infty$ bzw. $r_0=2\,R$ und $r=6\,R$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
% Loesung zu 12a0225
\begin{enumerate}
\item \EPSR{8.9cm}{elrr0441L}{5cm}{}{
\PSFM{40}{$\alpha$} \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} 
\PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{x}{$x$}
}{$\D Q(r)=\begin{cases}
  \D 2\,Q\cdot\frac{r^{3}}{R^{3}} & \text{f"ur $0\leqq r\leqq R$}\\
  2\,Q & \text{f"ur $R< r\leqq 3\,R$}\\
  Q & \text{f"ur $r>3\,R$}
\end{cases}$\\[2mm]
$\D E(r)=\frac{Q(r)}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}=
  \begin{cases}
  \D\frac{Q}{2\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R^{3}}\cdot r & \text{f"ur $0\leqq r\leqq R$}\\[2mm]
  \D\frac{Q}{2\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}& \text{f"ur $R< r\leqq 3\,R$}\\[2mm]
  \D\frac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{f"ur $r>3\,R$}
\end{cases}$\\[2mm]
$\D E(x)=\begin{cases}
  \D\alpha\cdot x & \text{f"ur $0\leqq x\leqq 1$}\\[2mm]
  \D\frac{\alpha}{x^{2}} & \text{f"ur $1< x\leqq 3$}\\[2mm]
  \D\frac{\alpha}{2\,x^{2}} & \text{f"ur $x>3$}
\end{cases}$\quad mit $\D\alpha=4\cdot 10^{5}\,\RFRAC{V}{m}$
}
\item \EPSR{8cm}{elrr0442L}{4.5cm}{}{
\PSFM{m7}{$-7$} \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} 
\PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{x}{$x$}
}{$\D r=x\cdot R\quad\DANN\quad\frac{\RMd r}{\RMd x}=R\quad\DANN\quad 
  \RMd r=R\,\RMd x$\\[2mm]
  $\D W=-q\cdot\int\limits_{0}^{r}E(\tilde{r})\,\RMd\tilde{r}
       =-q\,R\cdot\int\limits_{0}^{x}E(\tilde{x})\,\RMd\tilde{x}$\\[2mm]
  $x<1$:\quad 
  $\D W(x)=-q\,R\,\alpha\cdot\int\limits_{0}^{x}\tilde{x}\,\RMd\tilde{x}=
  -\frac{\beta}{2}\,x^{2}$\\[2mm]
  $1<x<3$:\quad 
  $\D W(x)=W(1)-q\,R\,\alpha\cdot\int\limits_{1}^{x}\frac{\RMd\tilde{x}}{\tilde{x}^{2}}=
 $\\[2mm]
\hspace*{11mm}  $\D =-\frac{\beta}{2}-\beta\,\left(-\frac{1}{x}+1\right)=
  \beta\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{3}{2}\right)$
}\\[2mm]
  $x>3$:\quad 
  $\D W(x)=W(3)-\frac{q\,R\,\alpha}{2}\cdot\int\limits_{3}^{x}\frac{\RMd\tilde{x}}{\tilde{x}^{2}}=
  -\frac{7\,\beta}{6}-\frac{\beta}{2}\,\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\right)=
  \frac{\beta}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{8}{3}\right)$
\\[2mm]
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c}
 $x$ & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 & 6 & $\infty$\\\hline
 \rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\D\frac{W}{\mathrm{J}}$ & $-0{,}75$ & $-3$ & $-6$ & $-7$ & $-7{,}5$
 & $-8$
\end{tabular}\\[2mm]

\item $\D W(0)=W(\infty)+\frac{m}{2}\,v^{2}\quad\DANN\quad
  v=\sqrt{\frac{2\,(W(0)-W(\infty))}{m}}=80{,}0\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
$\D W(2R)=W(6R)+\frac{m}{2}\,v^{2}\quad\DANN\quad
  v=\sqrt{\frac{2\,(W(2R)-W(6R))}{m}}=34{,}6\,\RFRAC{m}{s}$
\end{enumerate}
}
