\ANG{
\label{12a0226}Wir betrachten noch einmal das einfache Modell des Wasserstoffatoms aus
Aufgabe (\ref{12a0217}):
\begin{enumerate}
\item[-] Das Elektron ist eine homogen geladene Kugel mit Radius $R$
\item[-] Das Proton sitzt als Punktladung im Zentrum des Elektrons
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Die Ionisierungsenergie, d.h. die Arbeit zur vollst"andigen Trennung von
Kern und Elektron, betr"agt beim H-Atom $W_{\mathrm{I}}=13{,}6\,{\rm eV}=13{,}6\cdot 1\,e\cdot
1\,$V. Berechne aus diesem Wert den Radius $R$ des H-Atoms.
\item Welche Geschwindigkeit $v_0$ muss das Proton im Zentrum des Elektrons
mindestens besitzen, um das Elektron vollst"andig verlassen zu k"onnen, wenn
das Elektron, wie auch immer das realisiert wird, an seinem Ort in Ruhe bleibt.
\end{enumerate}}
\LSG{
% Loesung zu 12a0226
\begin{enumerate}
\item $\D E(r)=\begin{cases}
  \D\frac{-e}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R^{3}}\cdot r & \text{f"ur $0\leqq r\leqq R$}\\[3mm]
  \D\frac{-e}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{f"ur $r>R$}
\end{cases}$\\[2mm]
\begin{align*}
   W_{\mathrm{I}} &= -e\cdot\int\limits_{0}^{\infty}E(r)\,\RMd r=
   \frac{e^{2}}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R^{3}}\cdot 
   \int\limits_{0}^{R}r\,\RMd r+ 
   \frac{e^{2}}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot 
   \int\limits_{R}^{\infty}\frac{\RMd r}{r^{2}}= \\
   &= \frac{e^{2}}{8\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R}+
   \frac{e^{2}}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R}=
   \frac{3\,e^{2}}{8\,\pi\,\varepsilon_{0}\,R}
\end{align*} 
\[R=\frac{3\,e}{8\,\pi\,\varepsilon_{0}\,E_{\mathrm{I}}}=
    1{,}59\cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}\]
\item  $\D \frac{m}{2}\,v_{0}^{2}=W_{\mathrm{I}}\quad\DANN\quad
  v=\sqrt{\frac{2\,W_{\mathrm{I}}}{m}}=
  2{,}19\cdot 10^{6}\,\RFRAC{m}{s}$
\end{enumerate}
}
