\ANG{\EPSR{10cm}{elrr4671}{4cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{r}{$r$} 
}{
Eine leitende Vollkugel mit Radius $R$ ist von einer ebenfalls leitenden
Kugelschale mit Innenradius $r_{1}=2R$ und Au"senradius $r_{2}=3R$
konzentrisch umgeben. Die Kugel tr"agt die positive Ladung $Q$, die Schale die
Gesamtladung $Q_{\text{S}}=0$. 
\begin{enumerate}
\item Zitiere den Satz von Gau"s in der allgemeinen Form und speziell f"ur
  eine radialsymmetrische Ladungsverteilung.
\end{enumerate}
}
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item[(b)] Verwende einen Satz "uber die Feldst"arke im
Inneren von Leitern und den Satz von Gau"s und bestimme unter genauer
Protokollierung deiner Gedankeng"ange die Ladungsverteilung
auf den Leitern. Skizziere dazu auch den Grafen von $Q(r)$ (Ladung innerhalb
einer Kugel mit Radius $r$.)
\item[(c)] Schreibe einen Ausdruck f"ur die
elektrische Feldst"arke $E(r)$ hin (Fallunterscheidung). 
Dr"ucke $E$ durch $E_{0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}$ und $\D x=\frac{r}{R}$ aus.
Zeichne ohne gro"sen
Rechenaufwand den Grafen von $E(r)$ im Intervall $0\leqq r\leqq 4R$ mit
$R\,\widehat{=}\,2\,\text{cm}$ und $E(R)\,\widehat{=}\,9\,\text{cm}$.
\item[(d)] Berechne die potentielle Energie $W(r)$ einer Ladung $q$ mit dem
  Kugelmittelpunkt als Nullpunkt. Dr"ucke $W$ durch 
$\D\rule[-5mm]{0mm}{12mm} W_{0}=-\frac{Qq}{24\pi\varepsilon_{0}R}$ und 
$\D x=\frac{r}{R}$ aus.
Zeichne den Grafen von $W(r)$ im Intervall $0\leqq r\leqq 4R$ mit
$R\,\widehat{=}\,2\,\text{cm}$ und $W_{0}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm}$.
\item[(e)] Welche Geschwindigkeit hat ein Proton, das sich von der Oberfl"ache
  der inneren Kugel l"ost und durch ein feines Loch die Schale durchdringt, an
  einem Ort mit $r=4R$ f"ur $R=10\,\text{cm}$ und $Q=1{,}0\cdot 10^{-10}\,\text{C}$? 
\end{enumerate}
}
%
%
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Gau"sscher Satz: Ist $\Phi$ der elektrische Fluss durch eine
  geschlossene Fl"ache und $Q$ die gesamte Ladung innerhalb der Fl"ache, dann
  gilt $\D\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$.

Radialsymmetrisch: Kugelfl"ache mit Radius $r$ als geschlossene Fl"ache und
$Q(r)$ als Ladung innerhalb:
\[\Phi=4\pi r^{2}E(r)=\frac{Q(r)}{\varepsilon_{0}}\QDQ 
E(r)=\frac{Q(r)}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\]
\item \EPSR{9cm}{elrr4673}{4.5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{2R}{$2R$} \PSFM{3R}{$3R$} 
}{Die Feldst"arke in der Leiterkugel ist null $\DANN$ $Q(r)=0$ f"ur 
 $r<R\quad\DANN\quad Q$ sitzt auf der Oberfl"ache der Leiterkugel.\\[2mm]
Die Feldst"arke in der Leiterschale ist null $\DANN$ $Q(r)=0$ f"ur 
 $2R<r<3R\quad\DANN\quad -Q$ sitzt auf der Innenfl"ache und $Q$ auf der
 Au"senfl"ache der Leiterschale.
}
\item \EPSR{9cm}{elrr4672}{4.5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{2R}{$2R$} \PSFM{3R}{$3R$} 
\PSFM{E}{$E$} \PSFM{E1}{$E_{0}$} 
}{
\[\D E=\begin{cases}
0 &\text{f"ur $r<R$ bzw. $x<1$}\\
\D\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{E_{0}}{x^{2}}&
  \text{f"ur $R<r<2R$ bzw. $1<x<2$}\\
0 &\text{f"ur $2R<r<3R$ bzw. $2<x<3$}\\
\D\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{E_{0}}{x^{2}}&
  \text{f"ur $r>3R$ bzw. $x>3$}
\end{cases}\]
}
\item 
Aus\quad$\D W = -q\int\limits_{0}^{r}E(\tilde r)\,\RMd\tilde r=
-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\limits_{0}^{r}\frac{\RMd\tilde r}{r^{2}}$
folgt:
\[W(r) = \begin{cases}
0 & \text{f"ur $r<R$}\\
\D -\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}
\int\limits_{R}^{r}\frac{\RMd\tilde r}{\tilde r^{2}}=
-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}
\left(\frac 1R-\frac 1r\right)
&\text{f"ur $R<r<2R$}\\
\D W(2R)=-\frac{qQ}{8\pi\varepsilon_{0}R} &
\text{f"ur $2R<r<3R$}\\
\D W(2R)-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}
\int\limits_{3R}^{r}\frac{\RMd\tilde r}{\tilde r^{2}}
=-\frac{qQ}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}
\left(\frac{1}{3R}-\frac 1r\right)=\\
\D\qquad =-\frac{5qQ}{24\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}r}&
\text{f"ur $r>3R$}
\end{cases}
\]
\EPSR{6cm}{elrr4674}{7.5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{2R}{$2R$} \PSFM{3R}{$3R$} 
\PSFM{W}{$W$} \PSFM{W0}{$W_{0}$} 
}{
\[W(x) = \begin{cases}
0 &\text{bzw. $x<1$}\\
\D W_{0}\left(6-\frac 6x\right)
&\text{bzw. $1<x<2$}\\
\D 3W_{0} & \text{bzw. $2<x<3$}\\
\D W_{0}\left(5-\frac 6x\right)&\text{bzw. $x>3$}
\end{cases}
\]
}
\item[(e)] 
$\D W(R)+0=W(4R)+\frac{m}{2}v^{2}\QDQ
\frac{m}{2}v^{2}=-W(4R)=\frac{7Qe}{48\pi\varepsilon_{0}R}=
8{,}40\cdot 10^{-19}\,\text{J}$\\[2mm]
$\D v=\sqrt{\frac{-2W(4R)}{m_{\text{p}}}}=3{,}17\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$
\end{enumerate}
} 
