\ANG{
Berechne das Feld $\vec E(\vec r)$ und das Potential $\varphi(\vec r)$ der
geladenen $z$-Achse mit der konstanten L"angenladungsdichte
$\varrho=\frac{\RMd Q}{\RMd z}$.}
\LSG{
% Loesung zu 12a0231
\EPSR{7cm}{elrr050L}{6cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{z}{$z$} \PSFM{r}{$\vec{r}$} 
\PSFM{rs}{$r^{*}$} \PSFM{E}{$\vec{E}$}
}{
Der Punkt $\vec{r}=\RVEKTOR{c}{x}{y}{z}$ hat von der $z$-Achse den Abstand
$r^{*}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Nach Gauss ist der Betrag der Feldst"arke im
Abstand $r^{*}$ von der $z$-Achse
\[ E(r^{*})=\frac{\varrho}{2\pi\varepsilon_{0}r^{*}}\]
Der Einheitsvektor in Richtung von $\vec{E}$ ist
\[\vec{e}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\RVEKTOR{c}{x}{y}{0}\]
und damit
\[\vec{E}(\vec{r})=\frac{\varrho}{2\pi\varepsilon_{0}(x^{2}+y^{2})}\RVEKTOR{c}{x}{y}{0}\]
}\\[2mm]
W"ahlt man einen Punkt mit dem Abstand $r_{0}$ von der $z$-Achse als Bezugspunkt
des Potentials, dann ist das Potential im Abstand $r^{*}$ von der $z$-Achse
\[\varphi(r^{*})=-\int\limits_{r_{0}}^{r^{*}}E(\overline{r})\,\RMd\overline{r}=
  -\frac{\varrho}{2\pi\varepsilon_{0}}
  \int\limits_{r_{0}}^{r^{*}}\frac{\RMd\overline{r}}{\overline{r}}=
  -\frac{\varrho}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{r^{*}}{r_{0}}\] 
}
