\ANG{
{\bf Das Be$^{+}$-Ion}

Ein einfaches Modell des Be$^{+}$-Ions:

\begin{tabular}[t]{ll}
$Q_{1}=\hfill 4\,e$ &als Punktladung im Zentrum\\
$Q_{2}=-2\,e$ & auf einer Kugelfl"ache um das Zentrum mit dem Radius $r_{1}$\\
$Q_{3}=\hfill -e$ &auf einer Kugelfl"ache um das Zentrum mit dem Radius
$r_{2}=2\,r_{1}$
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Berechne die Feldst"arke $E(r)$, ausgedr"uckt durch $e$, $r_{1}$ 
  und Naturkonstanten. Zeichne den Verlauf von $E(r)$ mit 
  $r_{1}\,\widehat{=}\,2\,\mathrm{cm}$ und 
  $\D E_{1}=\lim_{r\to r_{1}^{+}}E(r)\,\widehat{=}\,2\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne die Spannung $U_{\infty\,1}$ am Ort der inneren
  Elektronenschale bez"uglich eines unendlich weit entfernten Punktes
  zun"achst allgemein und dann f"ur $r_{1}=2{,}0\cdot 10^{-11}\,$m.
\item Bei dieser Teilaufgabe darf vereinfachend angenommen werden, dass das Ion in Ruhe        bleibt:  Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Proton zentral auf ein
  Be$^{+}$-Ion geschossen werden, damit es die innere Elektronenschale 
  gerade noch erreicht? Welche Beschleunigung erf"ahrt das Proton
  ganz knapp vor dem Erreichen der inneren Schale?
\end{enumerate}



}
\LSG{
% Loesung zu 12p030
\EPSR{9cm}{elrr215L}{6cm}{5cm}{
\PSFM{r1}{$r_{1}$} \PSFM{r2}{$r_{2}$} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{E1}{$E_{1}$} \PSFM{E2}{$2E_{1}$} \PSFM{E}{$E$} 
\PSF{T1}{$\D E(r_{2}^{-})=\frac{E_{1}}{4}$} 
\PSF{T2}{$\D E(r_{2}^{+})=\frac{E_{1}}{8}$}
\PSFM{r}{$r$} 
}{\begin{enumerate}
\item $Q(r)=\begin{cases}
  4\,e & \text{f"ur $0\leqq r<r_{1}$}\\
  2\,e & \text{f"ur $r_{1}\leqq r<r_{2}$}\\
  e & \text{f"ur $r>r_{2}$}
\end{cases}$

$E(r)=\begin{cases}
  \D\frac{e}{\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{f"ur $0\leqq r<r_{1}$}\\[2mm]
  \D\frac{e}{2\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{f"ur $r_{1}< r<r_{2}$}\\[2mm]
  \D\frac{e}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r^{2}} & \text{f"ur $r>r_{2}$}
\end{cases}$
\end{enumerate}
}\\[-5mm]
\begin{enumerate}
\item[(b)] Mit $r_{2}=2\,r_{1}$ folgt
\[ U_{\infty\,1} = U_{\infty\,2}+U_{2\,1}=
  \frac{e}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r_{2}}+
  \frac{2\,e}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\cdot\left( 
  \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)=
  \frac{3\,e}{8\,\pi\,\varepsilon_{0}\,r_{1}}=108\,\mathrm{V}
  \approx 1{,}1\cdot 10^{2}\,\mathrm{V}
\]
\item[(c)] $\D\frac{m_{\mathrm{p}}}{2}\,v^{2}=e\cdot U_{\infty\,1},\quad
  v=\sqrt{\frac{2\,e\,U_{\infty\,1}}{m_{\mathrm{p}}}}=
  1{,}4\cdot 10^{5}\,\RFRAC{m}{s}$,\quad 
 $\D a=\frac{e^{2}}{2\,\pi\,\varepsilon_{0}\,m_{\mathrm{p}}\,r_{1}^{2}}=
    6{,}9\cdot 10^{20}\RFRAC{m}{s^{2}}$
\end{enumerate}




}
