\ANG{
\EPSR{8.5cm}{elrr4441}{5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{r0}{$r_{0}$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{e}{e$^{-}$}  
}{
Eine Metallkugel mit dem Radius $R=5{,}0\,\text{cm}$ tr"agt gleichm"a"sig
"uber die Oberfl"ache verteilt die positive Ladung $Q=2{,}0\cdot
10^{-10}\,\text{C}$. In der horizontalen Entfernung $r_{0}=20\,\text{cm}$ vom
Kugelmittelpunkt befindet sich ein momentan noch ruhendes Elektron. Die ganze
Anordnung befindet sich im Vakuum.
}
\begin{enumerate}
\item Beweise in nachvollziehbarer Weise, dass das Feld au"serhalb der Kugel
  gleich dem Feld einer Punktladung $Q$ im Mittelpunkt der Kugel ist.
\item Berechne die Geschwindigkeit $v$, mit der das Elektron auf die Kugel
  prallt.
\item Berechne die Beschleunigungen des Elektrons beim Start ($r=r_{0}$) und
  kurz vor dem Aufprall auf die Kugel ($r=R$). Sch"atze dann ab, um welche
  vertikale Strecke $\Delta y$ das Elektron bei seinem Flug zur Kugel
  abgelenkt wird.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{7.5cm}{elrr4442}{5cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{Q}{$Q$} \PSFM{E}{$E(r)$}  
}{
Wir denken uns eine Kugelfl"ache $A$ mit Radius $r$ um den Mittelpunkt der
Metallkugel. Aus Symmetriegr"unden steht das von $Q$ erzeugte Feld $\vec{E}$
auf dieser Fl"ache senkrecht und $E=|\vec{E}|$ h"angt nur von $r$ ab. Daher
ist der Fluss durch $A$ 
\[\Phi=E(r)\cdot A=4\pi r^{2}E(r)\] 
Nach dem {\sc Gau"s}schen Satz ist
\[\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}},\]
}\\
d.h.
\[4\pi r^{2}E(r)=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\quad\DANN\quad
  E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\]
\item Mit $m=m_{\text{e}}$ und $q=-e$ gilt
\[\frac{m}{2}v^{2}+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0} R}=
  \frac{m}{2}\cdot 0^{2}+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0} r_{0}}\]
\[v=\sqrt{\frac{Qq}{2\pi\varepsilon_{0} m}\cdot
    \left(\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{R}\right)}=
    \sqrt{\frac{Qe}{2\pi\varepsilon_{0} m}\cdot
    \left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_{0}}\right)}=3{,}1\cdot 10^{6}\,\RFRAC{m}{s}\]
\item $\D a_{1}=a(r_{0})=\frac{F(r_{0})}{m}=
   \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0} mr_{0}^{2}}=7{,}9\cdot
   10^{12}\,\RFRAC{m}{s^{2}}$\\[2mm]
Wegen $r_{0}=4R$ ist $\D a_{2}=a(R)=16a_{1}=1{,}3\cdot
10^{14}\,\RFRAC{m}{s^{2}}$\\[2mm]
Unter der Annahme einer konstanten Beschleunigung w"aren die Flugzeiten des
Elektrons f"ur die Strecke $s=r_{0}-R=15\,\text{cm}$:
\[t_{1}=\sqrt{\frac{2s}{a_{1}}}=1{,}9\cdot
10^{-7}\,\text{s}\quad\text{und}\quad
t_{2}=\sqrt{\frac{2s}{a_{2}}}=\frac{t_{1}}{4}=4{,}9\cdot 10^{-8}\,\text{s}\]
\[\Delta y_{2}<\Delta y<\Delta y_{1}\quad\text{mit}\quad
\Delta y_{1}=\frac{g}{2}t_{1}^{2}=1{,}9\cdot 10^{-13}\,\text{m}\quad
\text{und}\quad \Delta y_{2}=\frac{\Delta y_{1}}{16}=
1{,}2\cdot 10^{-14}\,\text{m}\]
\end{enumerate}
}
