\ANG{
\EPSR{7cm}{elrr4461}{7cm}{}{
\PSFM{U}{$U$} \PSFM{dh}{$\frac{d}{2}$} \PSFM{L}{$L$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{y}{$y$} \PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{v0}{$v_{0}$} \PSFM{0}{$0$}
\PSFM{y1}{$y_{1}$} 
}{
Ein zun"achst ruhendes Elektron wird von der Spannung $U_{0}$ auf $v_{0}$
beschleunigt. Dann wird das Elektron unter dem Winkel
$\varphi>0$ gegen die $x$-Achse in das homogene Feld $E$ eines
Plattenkondensators der L"ange $L$ eingeschossen (siehe Abb.).
Die Spannung $U$ an den Platten des Kondensators wird so gew"ahlt, dass das
Elektron den Kondensator parallel zur $x$-Achse verl"asst.
}
\begin{enumerate}
\item Wie muss $U$ gepolt sein?
\item Berechne $U$ in Abh"angigkeit von $U_{0}$, $d$, $\varphi$ und
  $L$.\\[2mm]
Zur Kontrolle:\quad $\D U(\varphi)=
\frac{2U_{0}d\sin\varphi\cos\varphi}{L}=\frac{U_{0}d\sin2\varphi}{L}$
\item Leite eine Formel f"ur den Abstand $y_{1}$ zur $x$-Achse her, unter dem
  das Elektron den Kondensator parallel zur $x$-Achse verl"asst.\\[2mm]
Zur Kontrolle:\quad $\D y_{1}=\frac{L}{2}\tan\varphi$
\item F"ur welchen maximalen Eintrittswinkel $\varphi_{\MAX}$ kann das
  Elektron den Kondensator gerade noch parallel zur $x$-Achse verlassen?
\item Liegt die Spannung $U(\varphi)$ am Kondensator, dann gibt es, bei
  gen"ugend gro"sem $d$, neben $\varphi$ noch einen weiteren m"oglichen
  Eintrittswinkel $\varphi'>0$, bei dem das Elektron ebenfalls parallel zur
  $x$-Achse aus dem Kondensator fliegt. Wie h"angen $\varphi'$ und $\varphi$
  zusammen? 
\item $U$ ist jetzt so eingestellt, dass ein durch $U_{0}=200\,\text{V}$
  beschleunigtes und unter $\varphi=15^{\circ}$ eintretendes Elektron 
($L=20\,\text{cm}$, $d=6\,\text{cm}$) den Kondensator parallel zur $x$-Achse verl"asst.
Berechne $U$, $y_{1}$ und $\varphi'$. Kann das Elektron unter beiden
Eintrittswinkeln $\varphi$ und $\varphi'$ den Kondensator verlassen?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Polung: plus unten
\item $\D\frac{m}{2}v_{0}^{2}=eU_{0}\quad\DANN\quad
  \frac{mv_{0}^{2}}{e}=2U_{0}$,\qquad $\D v_{0}=\sqrt{\frac{2eU_{0}}{m}}$
\quad \\[2mm]
Flugzeit:\quad $\D \Delta t=\frac{L}{v_{0}\cos\varphi}$,\qquad
Beschleunigung:\quad $\D a_{y}=\frac{eE}{m}=\frac{eU}{md}$\\[2mm]
Geschwindigkeit in $y$-Richtung bei $x=L$:\quad 
$\D
v_{1}=v_{0}\sin\varphi-\frac{eU}{md}\cdot\frac{L}{v_{0}\cos\varphi}=0$\\[2mm]
$\D U=\frac{mv_{0}^{2}d\sin\varphi\cos\varphi}{eL}=
\frac{2U_{0}d\sin\varphi\cos\varphi}{L}=\frac{U_{0}d\sin2\varphi}{L}$
\item $\D y_{1}=v_{y0}\Delta t-\frac{a_{y}}{2}\Delta t^{2}=
v_{0}\sin\varphi\cdot\frac{L}{v_{0}\cos\varphi}-
\frac{eU}{2md}\cdot\frac{L^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\varphi}=
L\tan\varphi-\frac{UL^{2}}{4U_{0}d\cos^{2}\varphi}$\\[2mm]
Mit $\D U=\frac{2U_{0}d\sin\varphi\cos\varphi}{L}$ folgt
$\D y_{1}=L\tan\varphi-\frac{2U_{0}dL^{2}\sin\varphi\cos\varphi}{4U_{0}dL\cos^{2}\varphi}=
\frac{L}{2}\tan\varphi$
\item 
$\D y_{1}=\frac{L}{2}\tan\varphi<\frac{d}{2}\quad\DANN\quad
\tan\varphi<\frac{d}{L}\quad\DANN\quad
\tan\varphi_{\MAX}=\frac{d}{L}$
\item $U(\varphi')=U(\varphi)\,\DANN\,\sin(2\varphi')=\sin(2\varphi)
\,\DANN\, 2\varphi'=180^{\circ}-2\varphi
\,\DANN\, \varphi'=90^{\circ}-\varphi$
\item $\D U=\frac{200\,\text{V}\cdot 0{,}06\,\text{m}\cdot\sin{30^{\circ}}}
{0{,}2\,\text{m}}=30\,\text{V}$,\quad
$\D y_{1}=\frac{0{,}2\,\text{m}}{2}\cdot\tan 15^{\circ}=
2{,}7\,\text{cm}<\frac{d}{2}$ (ja)\\[2mm]
$\D \varphi'=75^{\circ}$,\quad 
$\D y_{1}'=10\,\text{cm}\cdot \tan 75^{\circ}=37{,}3\,\text{cm}>\frac{d}{2}$
(nein)\quad
$\D \varphi_{\MAX}=\arctan\frac{d}{L}=17{,}7^{\circ}$
\end{enumerate}
}
