\ANG{
\EPSR{6cm}{elrr4691}{8cm}{}{
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{v0}{$v_{0}$} \PSFM{U}{$U$} 
\PSFM{L}{$L$} \PSFM{d}{$d$} \PSFM{y0}{$y_{0}$} 
\PSFM{e}{e$^{-}$} \PSFM{U1}{$U_{1}$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} 
}{\parfillskip0pt
Ein Elektron wird von der Spannung $U=100\,\text{V}$ beschleunigt und tritt
dann zur Zeit $t_{0}=0$ mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ unter dem Winkel
$\varphi$ (siehe Abbildung) direkt an der Kante A in das homogene Feld $E$
eines Plattenkondensators ein ($L=10{,}0\,\text{cm}$, $d=2{,}50\,\text{cm}$). 
Der Winkel $\varphi$ ist so gew"ahlt, dass das Elektron 
den Kondensator zur Zeit
}\\[2mm]
$t_{1}$ direkt an der Kante B wieder verl"asst. Die Spannung zwischen den
{\em quadratischen} Kondensatorplatten ist $U_{1}=\beta U$ mit $\beta=\frac 25$.

Hilfen aus der Mathematik: 
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1,\quad
\sin^{2}\alpha=\frac 12\left(1-\sqrt{1-\sin^{2}2\alpha}\right)\]
\begin{enumerate}
\item Berechne $v_{0}$ und die Ladung $Q$ auf der oberen Platte.
\item Berechne $t_{1}$ in allgemeinen Gr"o"sen (keine Zahlenwerte) auf zwei
  Arten und leite damit die Beziehung
$\sin 2\varphi=\frac{\beta L}{2d}$
her.
\item Leite f"ur die maximale H"ohe $y_{0}$ des Elektrons (siehe Abbildung)
  aus dem Energiesatz die Beziehung
  \[y_{0}=\frac{d}{2\beta}\left(1-\sqrt{1-\sin^{2}2\varphi}\right)\] 
  her und berechne dann die numerischen Werte von $t_{1}$, $\varphi$ und $y_{0}$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D m=m_{e}:\qquad\frac{m}{2}v_{0}^{2}=eU\QDQ
 v_{0}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}=5{,}93\cdot 10^{6}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
$\D Q=-CU_{1}=-\frac{\varepsilon_{0}L^{2}}{d}\cdot \beta U=
-1{,}42\cdot 10^{-10}\,\text{C}$\qquad($C=3{,}54\cdot 10^{-12}\,\text{F}$)
\item Bewegung in $x$-Richtung: $\D t_{1}=\frac{L}{v_{0}\cos\varphi}$\\[2mm]
Beschleunigung in $y$-Richtung: 
$\D a=-\frac{eE}{m}=-\frac{eU_{1}}{md}=-\frac{e\beta U}{md}\quad\DANN$\\[2mm]
$\D t_{1}v_{0}\sin\varphi-\frac{e\beta U}{2md}t_{1}^{2}=
t_{1}\left(v_{0}\sin\varphi-\frac{e\beta U}{2md}t_{1}\right)=0\QDQ
t_{1}=\frac{2mdv_{0}\sin\varphi}{e\beta U}$\\[2mm]
$\D \frac{L}{v_{0}\cos\varphi}=\frac{2mdv_{0}\sin\varphi}{e\beta U}\QDQ
2\sin\varphi\cos\varphi=\sin 2\varphi=
\frac{Le\beta U}{d\underbrace{mv_{0}^{2}}_{2eU}}=
\frac{Le\beta U}{2deU}=\frac{L\beta}{2d}$
\item Energiesatz:\quad 
$\D\frac{m}{2}v_{0}^{2}=eEy_{0}+\frac{m}{2}v_{0}^{2}\cos^{2}\varphi\quad\DANN$\\[2mm]
$\D y_{0}=\frac{mv_{0}^{2}}{2eE}(1-\cos^{2}\varphi)=
\frac{2eU}{2eE}\sin^{2}\varphi=\frac{Ud}{\beta U}\sin^{2}\varphi=
\frac{d}{2\beta}\left(1-\sqrt{1-\sin^{2}2\varphi}\right)$\\[2mm]
$\D
y_{0}=\frac{d}{2\beta}\left(1-\sqrt{1-\frac{L^{2}\beta^{2}}{4d^{2}}}\right)=
\frac{d}{0{,}8}\left(1-\sqrt{1-\frac{16}{25}}\right)=\frac{d}{2}=
1{,}25\,\text{cm}$\\[2mm]
$\D \sin
2\varphi=\frac{L\beta}{2d}=2\beta=0{,}8\QDQ\varphi=26{,}6^{\circ}$\\[2mm]
$\D t_{1}=\frac{L}{v_{0}\cos\varphi}=1{,}89\cdot 10^{-8}\,\text{s}$
\end{enumerate}
} 
