\ANG{
\EPSR{8cm}{elrr4491}{5.5cm}{}{
\PSFM{P}{P} \PSFM{Q}{Q} \PSFM{v}{$v$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{b}{$b$} 
\PSFM{B}{$\vec{B}$} \PSFM{t}{$\boxed{t=0}$}
}{
Ein rechteckiger Leiterrahmen der Breite $b=20{,}0\,\text{cm}$ wird mit der
konstanten Geschwindigkeit $v=2{,}00\,\RFRAC{cm}{s}$ aus einem
scharf begrenzten Magnetfeld $\vec{B}$ mit dem Betrag 
\[B(t)=\alpha t^{2}\quad\text{und}\quad \alpha=5{,}00\cdot
10^{-3}\,\RFRAC{T}{s^{2}}\]
gezogen, die Eintauchtiefe zur Zeit $t=0$ ist 
}\\[1mm]
$a=30{,}0\,\text{cm}$. Das Vorzeichen des magnetischen Flusses $\Phi(t)$ 
durch den Leiterrahmen ist positiv, die Induktionsspanung $U(t)=U_{\text{PQ}}$
ist positiv, wenn P positiv ist.
\begin{enumerate}
\item Berechne $\Phi(t)$ im Zeitintervall $[0;20\,\text{s}]$ und zeichne
  den Grafen dieser Funktion. Berechne dazu auch ihre Extremwerte 
 (Maximum bei $t_{1}$).
\item Bestimme anhand des Grafen von $\Phi$ das Vorzeichen von $U(t)$ im
  Intervall $[0;t_{1}]$ und berechne dann $U(t)$. Zeichne den Grafen von $U(t)$ 
  im Intervall $[0; 20\,\text{s}]$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
\EPSR{6cm}{elrr4492}{7cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10} 
\PSFM{16}{16} \PSFM{12}{12} \PSFM{18}{18} \PSFM{14}{14} \PSFM{20}{20}  
\PSFM{0.000}{0} \PSFM{0.001}{0,001} \PSFM{0.002}{0,002} \PSFM{0.003}{0,003}
\PSFM{0.004}{0,004} \PSFM{0.005}{0,005} \PSFM{0.006}{0,006}
\PSFM{0.007}{0,007} \PSFM{0.008}{0,008} \PSFM{0.009}{0,009} \PSFM{0.010}{}
\PSFM{y}{$\frac{\Phi}{\text{Vs}}$}  
\PSFM{t}{$\,\,\,\,\frac{t}{\text{s}}$}
}{
F"ur $t\geqq t_{2}=15\,\text{s}$ ist der Leiterrahmen nicht mehr im Magnetfeld
und daher $\Phi(t)=0$. F"ur $t<t_{2}$ gilt:\\[2mm]
$\D A(t)=b(a-vt)$ \\[2mm]
$\D \Phi(t)=B(t)A(t)=\alpha bt^{2}(a-vt)$\\[2mm]
$\D \Phi(t)=\alpha b(at^{2}-vt^{3})$\\[2mm]
$\D \dot\Phi(t)=\alpha bt(2a-3vt)$\\[2mm]
$\D \dot\Phi(t)=0\,\DANN\,t_{0}=0$ (Minimum)\\[2mm]
oder $\D t_{1}=\frac{2a}{3v}=10\,\text{s}$ (Maximum)\\[2mm]
}\\[1mm]
$\D \Phi(t)=10^{-2}\RFRAC{V}{s}\cdot t^{2}
\left(3-0{,}2\,\RFRAC{1}{s}t\right)$
%\\[2mm]
\begin{scriptsize}
\begin{tabular}[c]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
$\frac{t}{\text{s}}$ &     0 &    2 &    4 &    6 &    8 & 10 &   12 &   14 &
15 \rule[-3mm]{0mm}{6mm}\\\hline
$\frac{\Phi}{\text{mT}}$ & 0 & 1,04 & 3,52 & 6,48 & 8,96 & 10 & 8,64 & 3,92 &
0
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\item 
\EPSR{6cm}{elrr4493}{7cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10} 
\PSFM{16}{16} \PSFM{12}{12} \PSFM{18}{18} \PSFM{14}{14} \PSFM{20}{20}  
\PSFM{0.000}{0} \PSFM{0.001}{0,001} \PSFM{0.002}{0,002} \PSFM{0.003}{0,003}
\PSFM{0.004}{0,004} \PSFM{-0.001}{-0,001} \PSFM{0.006}{0,006}
\PSFM{0.007}{0,007} \PSFM{0.008}{0,008} \PSFM{0.009}{0,009} \PSFM{0.010}{}
\PSFM{y}{$\frac{U}{\text{V}}$}  
\PSFM{t}{$\,\,\,\,\frac{t}{\text{s}}$}
}{
F"ur $t\in[0;10\,\text{s}]$ ist $\Phi(t)$ steigend, das vom Induktionsstrom
erzeugte Feld $\vec{B}_{\text{i}}$ muss entgegengesetzt zu $\vec{B}$
orientiert sein ({\sc Lenz}sche Regel). Der Induktionsstrom w"urde (wenn P und
Q leitend verbunden 
w"aren) entgegen dem Uhrzeigersinn flie"sen, d.h. P ist negativ. 
F"ur $t\in[0;10\,\text{s}]$ ist also $U(t)<0$, d.h.
\[U(t)=-\dot\Phi(t)=-\alpha bt(2a-3vt)\]
}\\[1mm]
$\D U(t)=\begin{cases}
\D 6\cdot 10^{-4}\,\RFRAC{V}{sm}\cdot t
\left(0{,}1\,\RFRAC{1}{s}t-1\right) & \text{f"ur $t<t_{2}$}\\
0  &  \text{f"ur $t>t_{2}$}
\end{cases}
$\qquad
\begin{tabular}[c]{c|c|c|c|c}
$\frac{t}{\text{s}}$ &  0 &    5 & 10 & 15 \rule[-3mm]{0mm}{6mm}\\\hline
$\frac{U}{\text{mV}}$ & 0 & -1,5 &  0 & 4,5
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}
\end{tabular}
\end{enumerate}
}
