\ANG{
\EPSR{9.9cm}{elrr4501}{4cm}{}{
\PSFM{r}{$r_{0}$} \PSFM{a}{$a$} 
}{
Das CMS (Compact Muon Solenoid) am CERN ist ein riesiger Teilchendetektor f"ur
den LHC (Large Hadron Collider). Das Kernst"uck des CMS ist ein supraleitender
Elektromagnet der L"ange $a=13\,\text{m}$ und mit der Induktivit"at
$L=14\,\text{H}$. Bei der Stromst"arke $I_{0}=1{,}95\cdot 10^{4}\,\text{A}$ durch
die Wicklungen betr"agt die Kraftflussdichte im Mittelpunkt der Spule 
$B_{0}=4{,}0\,\text{T}$.
}
\begin{enumerate}
\item Berechne die Windungszahl $n$ und den Radius $r_{0}$ der Spule.
\item Zu Testzwecken wird ein von der Spannug $U_{\text{p}}$ beschleunigtes Proton
  senkrecht zu den Feldlinien in das Magnetfeld im Inneren der Spule
  geschossen. In einem geeigneten Koordinatensystem wird das Proton an
  folgenden Orten registriert: 
$\EPUNKT{P_{1}}{2{,}25\,\text{cm}}{-4{,}00\,\text{cm}}$, 
$\EPUNKT{P_{2}}{2{,}25\,\text{cm}}{4{,}00\,\text{cm}}$ und  
$\EPUNKT{P_{3}}{10{,}50\,\text{cm}}{6{,}50\,\text{cm}}$.

Zeichne die drei Punkte in ein Koordinatensystem (Ma"sstab 1:1), ermittle 
durch Konstruktion und durch Rechnung den Radius $r$ der Protonenbahn und 
berechne dann $U_{\text{p}}$.
\item Welchen Energieinhalt $W_{0}$ hat das Magnetfeld der Spule? Wie lange kann
  man tausend 100-Watt-Lampen mit dieser Energie betreiben? 
\item Durch einen Unfall wird zur Zeit $t=0$ die Spannungsquelle der Spule
  kurzgeschlossen. Dadurch bricht die Spannung zusammen und zwischen den Enden 
  der Spule liegt der Widerstand $R=0{,}10\,\text{m}\Omega$ (haupts"achlich 
  der Widerstand der Zuleitungen, die Wicklungen sind ja supraleitend).
  Stelle die Differentialgleichung f"ur den Strom $I(t)$ auf (kurze 
  Begr"undung!) und zeige, dass  
\[I(t)=I_{0}\,e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\] 
eine L"osung mit den passenden Anfangsbedingungen ist. Zu welcher Zeit $t_{1}$
ist der Energieinhalt des Spulenfeldes noch $W_{1}=1{,}0\,\text{MJ}$? Wie
gro"s ist die Stromst"arke zu dieser Zeit? 
\item 
\EPSR{9.5cm}{elrr4503}{4cm}{}{
\PSFM{r}{$r_{0}$} \PSFM{b}{$b$} \PSFM{Us}{$U'$}
}{
Zur "Uberwachung des Feldst"arkeabfalls nach dem Unfall wird eine quadratische
Spule mit der Kantenl"ange $b=1{,}0\,\text{m}$ und $n'=10^{4}$ Windungen
senkrecht zu den magnetischen Feldlinien ins Innere der Spule gebracht.
Berechne den Betrag $U'(t)$ der Induktionsspanung an den Enden der quadratischen Spule.
Berechne auch $U_{0}=U'(0)$.
}
\item 
\EPSR{6cm}{elrr4504}{7.5cm}{}{
\PSFM{x}{\qquad\raisebox{5mm}{$\D\frac{t'}{\text{s}}$}} \PSFM{y}{$\varphi$} 
\PSFM{0.95}{\raisebox{-5mm}{0,95}} \PSFM{0.50}{\raisebox{-5mm}{0,50}} 
\PSFM{0.00}{\raisebox{-5mm}{0}} \PSFM{0.25}{\raisebox{-5mm}{0,25}}
\PSFM{0.75}{\raisebox{-5mm}{0,75}} 
\PSFM{0.05}{} \PSFM{0.10}{} \PSFM{0.15}{} \PSFM{0.20}{} 
\PSFM{0.35}{} \PSFM{0.30}{} \PSFM{0.45}{} \PSFM{0.40}{}
\PSFM{0.55}{} \PSFM{0.60}{} \PSFM{0.65}{} \PSFM{0.70}{}  
\PSFM{0.85}{} \PSFM{0.80}{} \PSFM{0.90}{} 
\PSFM{80}{\hspace{-5mm}$80^{\circ}$} \PSFM{60}{\hspace{-5mm}$60^{\circ}$}
\PSFM{40}{\hspace{-5mm}$40^{\circ}$} \PSFM{20}{\hspace{-5mm}$20^{\circ}$} 
\PSFM{5}{\hspace{-5mm}$5^{\circ}$}   
\PSFM{0}{} \PSFM{10}{} \PSFM{15}{} \PSFM{25}{} \PSFM{30}{} \PSFM{35}{} 
\PSFM{45}{} \PSFM{50}{} \PSFM{55}{} \PSFM{65}{} \PSFM{70}{} 
\PSFM{75}{} \PSFM{85}{} \PSFM{90}{}   
}{
Zur Zeit $t_{2}=10\,\text{h}$ nach dem Unfall wird die quadratische Spule 
durch einen Sto"s um $\varphi_{0}=5^{\circ}$ aus der vertikalen Position 
ausgelenkt und kippt dann um. Nebenstehendes Diagramm zeigt den Kippwinkel 
$\varphi$ in Abh"angigkeit von der Kippzeit $t'=t-t_{2}$. 
Zeige, dass w"ahrend des Kippens die Induktionsspannung
\[U'=b^{2}n'B\left(\frac{R}{L}\cos\varphi+\dot{\varphi}\sin\varphi\right)\]
ist und ermittle anhand des Diagramms und einer geeigneten N"aherung ihren
maximalen Wert. 
}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D B_{0}=\mu_{0}\cdot\frac{nI_{0}}{a}\QDQ 
  n=\frac{B_{0}a}{\mu_{0}I_{0}}=2{,}1\cdot 10^{3}$\\[2mm]
$\D L=\mu_{0}\cdot\frac{n^{2}A}{a}\QDQ 
  A=\frac{La}{\mu_{0}n^{2}}=32\,\mathrm{m^{2}}\QDQ
  r_{0}=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=3{,}2\,\text{m}$\\[2mm]
\item 
\EPSR{8.5cm}{elrr4502}{5cm}{}{ 
\PSFM{r}{$r$} \PSFM{65}{6,5} \PSFM{4}{4} \PSFM{P1}{P$_{1}$} 
 \PSFM{P2}{P$_{2}$}  \PSFM{P3}{P$_{3}$} 
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
}{ 
$y=8{,}25\,\cm-x$\\[2mm]
$x^{2}+(4\,\cm)^{2}=r^{2}$\\[2mm]
$y^{2}+(6{,}5\,\cm)^{2}=(8{,}25\,\cm-x)^{2}+(6{,}5\,\cm)^{2}=r^{2}$\\[2mm]
$(8{,}25\,\cm)^{2}-16{,}5\,\cm\cdot x+x^{2}+(6{,}5\,\cm)^{2}=x^{2}+(4\,\cm)^{2}$\\[2mm]
$\D x=\frac{(8{,}25\,\cm)^{2}+(6{,}5\,\cm)^{2}-(4\,\cm)^{2}}{16{,}5\,\cm}=
5{,}72\,\cm$\\[2mm]
$\D r=\sqrt{x^{2}+(4\,\cm)^{2}}=6{,}98\,\cm$\\[2mm]
$\D \frac{mv^{2}}{r}=evB_{0}\QDQ 
  v=\frac{erB_{0}}{m}=2{,}67\cdot 10^{7}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
}\\[0mm]
$\D eU_{\text{p}}=\frac{m}{2}v^{2}\QDQ U_{\text{p}}=\frac{mv^{2}}{2e}=
\frac{er^{2}B_{0}^{2}}{2m}=3{,}7\cdot 10^{6}\,\text{V}$
\item $\D W_{0}=Aa\cdot\frac{B_{0}^{2}}{2\mu_{0}}=\frac12 LI_{0}^{2}=
2{,}7\cdot 10^{9}\,\text{J}$,\qquad
$\D\Delta t=\frac{W}{P}=
\frac{2{,}7\cdot 10^{9}\,\text{J}}{10^{5}\,\RFRAC{J}{s}}=
2{,}7\cdot 10^{4}\,\text{s}=7{,}5\,\text{h}$
\item Spannung am Widerstand gleich Induktionsspannung:
\[RI=-L\dot{I}\QDQ \dot{I}=-\frac{R}{L}\,I\]
\[\dot{I}(t)=\frac{\RMd}{\RMd t}\left(I_{0}\,e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\right)=
-\frac{R}{L}I_{0}\,e^{-\frac{R}{L}\cdot t}=-\frac{R}{L}I(t)\]
Die Anfangsbedingung $I(0)=I_{0}$ passt.\qquad 
$\D\frac{R}{L}=\frac{1}{140\,000\,\text{s}}=7{,}14\cdot 10^{-6}\,\RFRAC{1}{s}$.
\[W(t_{1})=\frac12 LI(t_{1})^{2}=
\frac12 LI_{0}^{2}e^{-\frac{2R}{L}\cdot t_{1}}=
W_{0}\,e^{-\frac{2R}{L}\cdot t_{1}}=W_{1}\]
\[t_{1}=-\frac{L}{2R}\ln\frac{W_{1}}{W_{0}}=
 \frac{L}{2R}\ln\frac{W_{0}}{W_{1}}=5{,}5\cdot 10^{5}\,\text{s}=
1{,}5\cdot 10^{2}\,\text{h}\]
\[I_{1}=I(t_{1})=I_{0}\,e^{-\frac{R}{L}\cdot t_{1}}=3{,}8\cdot 10^{2}\,\text{A}\]
\item $\D B(t)=\frac{\mu_{0}n}{a}\cdot I(t)=
\frac{\mu_{0}n}{a}\cdot I_{0}e^{-\frac{R}{L}\cdot t}=
B_{0}e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\QDQ
\Phi(t)=b^{2}n'B(t)=b^{2}n'B_{0}\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}$\\[2mm]
$\D U'(t)=|\dot{\Phi}(t)|=U_{0}\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}
\quad\text{mit}\quad
U_{0}=\frac{b^{2}n'B_{0}R}{L}=0{,}29\,\text{V}$
\item \EPSR{6.7cm}{elrr4505}{6.4cm}{}{
\PSFM{x}{\qquad\raisebox{5mm}{$\D\frac{t'}{\text{s}}$}} \PSFM{y}{$\varphi$} 
\PSFM{0.95}{\raisebox{-5mm}{0,95}} \PSFM{0.50}{\raisebox{-5mm}{0,50}} 
\PSFM{0.00}{\raisebox{-5mm}{0}} \PSFM{0.25}{\raisebox{-5mm}{0,25}}
\PSFM{0.75}{\raisebox{-5mm}{0,75}} 
\PSFM{0.05}{} \PSFM{0.10}{} \PSFM{0.15}{} \PSFM{0.20}{} 
\PSFM{0.35}{} \PSFM{0.30}{} \PSFM{0.45}{} \PSFM{0.40}{}
\PSFM{0.55}{} \PSFM{0.60}{} \PSFM{0.65}{} \PSFM{0.70}{}  
\PSFM{0.85}{} \PSFM{0.80}{} \PSFM{0.90}{} 
\PSFM{80}{\hspace{-5mm}$80^{\circ}$} \PSFM{60}{\hspace{-5mm}$60^{\circ}$}
\PSFM{40}{\hspace{-5mm}$40^{\circ}$} \PSFM{20}{\hspace{-5mm}$20^{\circ}$} 
\PSFM{5}{\hspace{-5mm}$5^{\circ}$}   
\PSFM{0}{} \PSFM{10}{} \PSFM{15}{} \PSFM{25}{} \PSFM{30}{} \PSFM{35}{} 
\PSFM{45}{} \PSFM{50}{} \PSFM{55}{} \PSFM{65}{} \PSFM{70}{} 
\PSFM{75}{} \PSFM{85}{} \PSFM{90}{}   
}{
%Der Fluss durch die Spule ist\\[2mm]
$\Phi(t)=b^{2}n'B(t)\cos\varphi\quad\DANN$
\begin{align}
U' &= -\dot{\Phi}= -b^{2}n'(\dot{B}\cos\varphi-B\dot{\varphi}\sin\varphi)=\nonumber\\
 &= b^{2}n'B\left(\frac{R}{L}\cos\varphi+\dot{\varphi}\sin\varphi\right)\nonumber
\end{align}
Im Intervall $0<t'<0{,}95\,\text{s}$ ist $\cos\varphi$ fallend,
$\sin\varphi$ steigend und 
\[B(t)\approx B(t_{2})=3{,}1\,\text{T}\] 
praktisch konstant.
Maximales $\dot\varphi$:\\[2mm]
$\D \dot\varphi\approx\frac{\frac{\pi}{2}}{0{,}29\,\text{s}}=
5{,}4\,\RFRAC{1}{s}\gg\frac{R}{L}$\\[2mm]
$U'_{\text{max}}\approx b^{2}n'B(t_{2})\dot\varphi=1{,}7\cdot 10^{5}\,\text{V}$
}
\end{enumerate} 
} 
