\ANG{
\EPSR{7.9cm}{elrr4711}{5.6cm}{}{
\PSFM{T}{$T$} \PSFM{t}{$t$}
\PSFM{U}{$U$} \PSFM{U0}{$U_{0}$} \PSFM{aT}{$\alpha T$}
}{%\parfillskip0pt
Ein Funktionsgenerator erzeugt eine periodische Dreiecksspannung $U(t)$ wie in
nebenstehender Abbildung ersichtlich ($\alpha<1$).

Berechne den Mittelwert $\overline{U}$ und den Effektivwert $U_{\text{eff}}$
der Spannung. 

F"ur welches $\alpha$ ist $U_{\text{eff}}=\frac{U_{0}}{2}$?
}
}
\LSG{
$\D\overline{U}=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}U(t)\,\RMd t=
\frac 1T\int\limits_{0}^{\alpha T}\frac{U_{0}}{\alpha T}\cdot t\,\RMd t=
\frac{U_{0}}{\alpha T^{2}}\cdot\frac{\alpha^{2}T^{2}}{2}=
\frac{\alpha}{2}\,U_{0}$\\[2mm]
$\D U_{\text{eff}}=\sqrt{\frac 1T\int\limits_{0}^{T}U(t)^{2}\,\RMd t}=
\sqrt{\frac 1T\int\limits_{0}^{\alpha T}
  \frac{U_{0}^{2}}{\alpha^{2} T^{2}}\cdot t^{2}\,\RMd t}=
  \sqrt{\frac{U_{0}^{2}}{\alpha^{2} T^{3}}\cdot\frac{\alpha^{3}T^{3}}{3}}=
\sqrt{\frac{\alpha}{3}\,U_{0}^{2}}=\sqrt{\frac{\alpha}{3}}\,U_{0}$\\[2mm]
$\D U_{\text{eff}}=\frac{U_{0}}{2}\QDQ\sqrt{\frac{\alpha}{3}}=\frac 12\QDQ
\alpha=\frac 34$
} 
