\ANG{
{\bf Teleskope der ESO (European Southern Observatory)}

Die Europ"aische S"udsternwarte auf dem Cerro Paranal in Chile besteht unter
anderem aus vier gro"sen Teleskopen (VLT, Very Large Telescope) mit einem
Spiegeldurchmesser von $A=8{,}2\,\mathrm{m}$ und drei beweglichen Teleskopen
(AT, Auxiliary Telescope) mit $1{,}8\,\mathrm{m}$ Spiegeldurchmesser. Als
Beobachtungswellenl"ange ist immer $\lambda=500\,\mathrm{nm}$ zu w"ahlen.
\begin{enumerate}
\item 
Welchen Winkelabstand $\varepsilon$ d"urfen zwei punktf"ormige Lichtquellen
haben, die mit dem VLT gerade noch als getrennte Objekte wahrgenommen werden?
Welche Entfernung h"atten diese beiden Lichtquellen auf dem Mond (380\,000\,km
von der Erde entfernt)?
\item
\EPSR{5cm}{elrr2641}{8cm}{}{
\PSFM{a}{$a$} \PSFM{d}{$d$} \PSFM{s}{$s$} 
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{I}{Interferenzort} 
}{\parfillskip0pt
Ein VLT und ein AT sind wie in nebenstehender Abbildung positioniert, der
Abstand der Teleskope ist $a=200\,\mathrm{m}$. Das Licht, das die Teleskope
von einem Stern auffangen, wird "uber ein Spiegelsystem ins Interferenzlabor
geleitet. Am Interferenzbild erkennt man, wenn die Delaystrecke $2d$ exakt 
gleich dem Gangunterschied $s$ der Teilstrahlen ist.
}\\[1mm]
Ebenfalls durch interferometrische Methoden kann $d$ so genau gemessen
werden, dass der Fehler bei der Bestimmung von $s$ in der Gr"o"senordnung
einer Wellenl"ange liegt, d.h.  $\Delta s=\lambda$. 
Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Positionswinkel $\varphi$ des Sterns, 
$s$ und $a$?
Beweise mit der N"aherungsformel 
$f(x+h)\approx f(x)+h\cdot f'(x)$ und unter der Annahme, dass $a$ exakt
bekannt ist, f"ur den Fehler von $\varphi$:
\[\Delta\varphi\approx\frac{\lambda}{a\sin\varphi}\,.\]
Wie weit d"urfen zwei Gegenst"ande auf dem Mond voneinander entfernt sein, um
unter g"unstigsten Umst"anden mit der Anordnung aus beiden Teleskopen noch
getrennt wahrgenommen werden zu k"onnen? Welchem Winkelabstand entspricht das? 
\end{enumerate}  
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Maximum der einen Lichtquelle beim 1. Beugungsminimum der anderen: 

 $\D A\sin\varepsilon=1{,}22\cdot\lambda\quad\DANN\quad
  \varepsilon\approx\sin\varepsilon=\frac{1{,}22\cdot\lambda}{A}=
   7{,}44\cdot 10^{-8}=(4{,}26\cdot 10^{-6})^{\circ}=0{,}015''$ 

  Auf dem Mond: $x=\varepsilon\cdot r=
  7{,}44\cdot 10^{-8}\cdot 3{,}8\cdot 10^{8}\,\text{m}=28{,}3\,\text{m}$
\item $\D\cos\varphi=\frac{s}{a}$. Die cos-Funktion ist im Bereich von 0 bis
  $\frac{\pi}{2}$ monoton fallend, d.h. dem gr"o"seren $\varphi$ entspricht
  das kleinere $s$:

  $\D\cos(\varphi+\Delta\varphi)\approx\cos\varphi-\Delta\varphi\cdot\sin\varphi\approx
   \frac{s-\Delta s}{a}=\frac{s-\lambda}{a}=
   \frac{s}{a}-\frac{\lambda}{a}=\cos\varphi-\frac{\lambda}{a}$

  $\D\Delta\varphi\approx\frac{\lambda}{a\sin\varphi}$

  Im g"unstigsten Fall ($\varphi=90^{\circ}$, d.h. $\sin\varphi=1$) gilt

  $\D\Delta\varphi\approx\frac{\lambda}{a}=2{,}5\cdot 10^{-9}=
   (1{,}43\cdot 10^{-7})^{\circ}=0{,}00052''$

 Auf dem Mond: $x=\Delta\varphi\cdot r=
  2{,}5\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}8\cdot 10^{8}\,\text{m}=0{,}95\,\text{m}$
\end{enumerate}

}
