\ANG{
\EPSR{8.5cm}{elrr4581}{5.5cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{h}{$a$} 
\PSFM{S}{S} \PSFM{E}{E} \PSFM{D}{D} \PSF{Sp}{Metallplatte} 
}{%\parfillskip0pt
Ein senkrecht zur Zeichenebene stehender Dipol im Ursprung O eines
Koordinatensystems sendet mit der Wellenl"ange
$\lambda$. Eine um den Punkt $\EPUNKT{D}{0}{a}$ auf der
$y$-Achse drehbare Metallplatte reflektiert ein schmales Strahlenb"undel zum
Empf"anger bei $\EPUNKT{E}{x}{0}$ auf der {\em positiven} $x$-Achse.
}\\[-3mm]
\begin{enumerate}
\item Berechne den Gangunterschied $\delta$ der beiden in E eintreffenden
  Wellen. W"ahle den Ansatz so, dass $\delta>0$ gilt.
\item Beweise f"ur die Orte mit maximaler Intensit"at auf der $x$-Achse: 
\[x_{k}=\frac{\beta(2a-\beta)}{2(\beta-a)}\quad\text{mit}\quad
\beta=\left(k-\frac12\right)\lambda\quad\text{und}\quad k\in\ZZ\]
\item Warum muss $\beta>0$ gelten? Beweise, dass aus $x_{k}>0$ die
  Einschr"ankung $a<\beta<2a$ folgt.
\item Berechne die Orte aller Intensit"atsmaxima auf der positiven
  $x$-Achse f"ur die speziellen Werte $a=25{,}0\,\text{m}$ und 
  $\lambda=5{,}00\,\text{m}$.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item 
   Gangunterschied:
   $\D\delta=a+\sqrt{a^{2}+x^{2}}-x+\frac{\lambda}{2}$
 \item \mbox{}
 \vspace{-8mm}
 \begin{align}
   \delta=k\cdot\lambda&\QDQ&\sqrt{a^{2}+x_{k}^{2}}&=
   \left(k-\frac12\right)\lambda-a+x_{k}=\beta-a+x_{k}\nonumber\\
   &\quad& a^{2}+x_{k}^{2}&=\beta^{2}-2a\beta+a^{2}
   +2(\beta-a)x_{k}+x_{k}^{2}\nonumber\\
   &\quad& 0&=\beta^{2}-2a\beta+2(\beta-a)x_{k}\nonumber\\
    &\quad& x_{k}&=\frac{\beta(2a-\beta)}{2(\beta-a)}=
    \frac{\left(k-\frac12\right)\lambda
   \left[2a-\left(k-\frac12\right)\lambda\right]}
   {2\left[\left(k-\frac12\right)\lambda-a\right]}\nonumber
 \end{align}
\item $\D \beta=a+\sqrt{a^{2}+x^{2}}-x_{k}>0$, da Strecke k"urzeste Verbindung
  zweier Punkte.\\[2mm]
  $\D x_{k}>0$ und $\D\beta>0\QDQ\frac{2a-\beta}{2(\beta-a)}>0\quad\GENAUDANN$
 \begin{align}
 \left(2a-\beta>0\,\wedge\,\beta-a>0\right)\,&\vee\,
 \left(2a-\beta<0\,\wedge\,\beta-a<0\right)\nonumber\\
 \left(2a>\beta\,\wedge\,\beta>a\right)\,&\vee\,
 \left(2a<\beta\,\wedge\,\beta<a\right)\nonumber\\
 a<\beta=\left(k-\frac12\right)\lambda<2a\qquad &\qquad
 (\text{nicht m"oglich wegen }a>0)\nonumber
 \end{align}
\item $\D a<\underbrace{\left(k-\frac12\right)\lambda}_{\beta}<2a\QDQ
 \frac{a}{\lambda}+\frac12<k<\frac{2a}{\lambda}+\frac12$\\[2mm]
$\D\frac{a}{\lambda}=5\QDQ 5{,}5<k<10{,}5\QDQ 
 6\leqq k\leqq 10$
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c}
$k$      & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
$x_{k}$ in m & 123,75 & 37,92 & 18,75 & 9,11 &
2,64\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate} 
}
