\ANG{
\parbox[t]{7.5cm}{
Das \GF{Objektiv} einer Lochkamera ist eine Blende mit einem kreisf"ormigen
Loch mit dem Durchmesser $a$. Die Blende hat zum Film den Abstand $b$.
Licht von einer weit entfernten Quelle (Stern) f"allt senkrecht auf die
Blende. Der Durchmesser $y$ des Bildpunktes auf dem Film wird in guter
N"aherung wie in nebenstehender Abbildung ermittelt. Dabei ist $\varphi$ der
Winkel zum ersten Beugungsminimum bei sehr weit entferntem Schirm.
}\hfill
\raisebox{2.5mm}{\parbox[t]{6.5cm}{
\vspace{0pt}
\PSFM{a}{$a$} \PSFM{b}{$b$} \PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{B}{Blende} \PSFM{F}{Film}
\EPSBASIS{elrr4571}{6.0cm}{}
}}
\begin{enumerate}
\item Dr"ucke $y$ durch $a$, $b$ und $\lambda$ aus. Vereinfache den gefundenen
  Term f"ur $a\gg\lambda$.
\item F"ur welchen Wert $a_{0}$ von $a$ ist $y$ minimal? Dr"ucke den minimalen
  Durchmesser $y_{\text{min}}$ des Bildes durch $b$ und $\lambda$ aus.
\item Berechne $y_{\text{min}}$ f"ur $b=20\,\text{cm}$ und
  $\lambda=500\,\text{nm}$. 
  %Wie gro"s ist in diesem Fall der prozentuale
  %Fehler, wenn man das exakte $y$ durch seinen N"aherungswert ersetzt?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
$\D a\sin\varphi=1{,}22\lambda\QDQ$\\[2mm]
$\D y=a+2b\tan\varphi=a+\frac{2b\sin\varphi}{\cos\varphi}=
a+\frac{2b\sin\varphi}{\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}}=
a+\frac{2b\cdot
\frac{1{,}22\lambda}{a}}{\sqrt{1-\frac{1{,}22^{2}\lambda^{2}}{a^{2}}}}$\\[2mm]
$\D\lambda\ll a\QDQ\frac{1{,}22^{2}\lambda^{2}}{a^{2}}\ll 1\QDQ
1-\frac{1{,}22^{2}\lambda^{2}}{a^{2}}\approx 1\QDQ
y\approx a+\frac{2{,}44\,b\lambda}{a}$
\item $\D\frac{\RMd y}{\RMd a}=1-\frac{2{,}44\,b\lambda}{a^{2}}=0\QDQ
a=a_{0}=\sqrt{2{,}44\,b\lambda}$\\[2mm]
$\D y_{\text{min}}=y(a_{0})=a_{0}+\frac{2{,}44\,b\lambda}
  {\sqrt{2{,}44\,b\lambda}}=a_{0}+\sqrt{2{,}44\,b\lambda}=2a_{0}=
2\sqrt{2{,}44\,b\lambda}$
\item $\D y_{\text{min}}=
2\sqrt{2{,}44\cdot 0{,}2\cdot 5\cdot 10^{-7}}\,\text{m}=
9{,}9\cdot 10^{-4}\,\text{m}=0{,}99\,\text{mm}$\\[2mm]
%$\D\left.\begin{array}{ll}
%y_{\text{exakt}}(a_{0}) &= 0{,}0009879274995\,\text{m}\\
%y_{\text{gen"ahert}}(a_{0}) &= 0{,}0009879271228\,\text{m}
%\end{array}\right\}\QDQ
%\frac{y_{\text{gen"ahert}}-y_{\text{exakt}}}
%{y_{\text{exakt}}}=-3{,}8\cdot 10^{-5}\,\%$
\end{enumerate}
}
