\ANG{
{\bf Zeitdilatation}
\begin{enumerate}
\item Schreibe die Formel der Zeitdilatation mit einer genauen Erl"auterung der
  verwendeten Gr"o"sen hin.
\item Entwickle N"aherungsformeln der Zeitdilatation f"ur $\beta\ll 1$ und f"ur 
  $1-\beta=\alpha\ll 1$.
\item Pascal durchf"ahrt einen 1200\,m langen Hang in exakt 40\,s (gemessen von Uhren am
  Start und am Ziel). Um wieviel zeigt Pascal's mitgef"uhrte Mini-Atom-Stoppuhr weniger an
  als die offizielle Zeitnahme? 
\item Bei einer 500 Millionen Lichtjahre von der Erde entfernten Supernova-Explosion
  treten ein Lichtteilchen und ein Proton gleichzeitig ihre Reise zur Erde an. Das Proton
  kommt nur 100\,m hinter dem Lichtteilchen auf der Erde an. Wie lang dauerte die Reise
  des Protons in seinem Ruhsystem?
\end{enumerate}


}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Bewegt sich {\bf eine} Uhr U' (System S') mit der konstanten Geschwindigkeit
  $v=\beta\,c$ an zwei im Inertialsystem S ruhenden Uhren U$_{1}$ und U$_{2}$ vorbei, dann 
  gilt f"ur die Zeitspanne zwischen den Treffpunkten
  \[\Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{1-\beta^{2}}\]
\item $\D\beta\ll 1\quad\DANN\quad
       \Delta t'\approx\Delta t\cdot\left(1-\frac{\beta^{2}}{2}\right)$\\[2mm]
  $\D\alpha\ll 1\quad\DANN\quad\Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}=
   \Delta t\cdot\sqrt{\alpha(2-\alpha)}\approx \Delta t\cdot\sqrt{2\,\alpha}$
 \item $\D v=\frac{1200\,\mathrm{m}}{40\,\mathrm{s}}=30\,\RFRAC{m}{s}\quad\DANN\quad
   \beta=10^{-7}$\\[2mm]
  $\D \delta t=\Delta t-\Delta t'=\Delta t\cdot\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right)\approx 
   \Delta t\cdot(1-1+\frac{\beta^{2}}{2})=\Delta t\cdot\frac{\beta^{2}}{2}
   =2\cdot 10^{-13}\,$s
 \item $\Delta t=5\cdot 10^{8}\,\mathrm{a}$,\quad$s=c\,\Delta t$,\quad$\Delta
   s=100\,$m\\[2mm]
  $\D v=\frac{s-\Delta s}{\Delta t}\quad\DANN\quad\beta=\frac{v}{c}=
   \frac{s-\Delta s}{c\,\Delta t}=\frac{s-\Delta s}{s}=1-\frac{\Delta s}{s}$\\[2mm]
  $\D\DANN\quad\alpha=\frac{\Delta s}{s}=
    \frac{100\,\mathrm{m}}{4{,}73\cdot 10^{24}\,\mathrm{m}}=2{,}11\cdot 10^{-23}$\\[2mm]
  $\D \Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{2\,\alpha}=
   5\cdot 10^{8}\cdot 365\cdot 24\cdot 3600\,\mathrm{s}\cdot
   \sqrt{2\cdot 2{,}11\cdot 10^{-23}}=1{,}03\cdot 10^{5}\,\mathrm{s}=28{,}5\,$h
\end{enumerate}

}
