\ANG{
\EPSR{9cm}{rerr083}{5cm}{}{
\PSFM{r}{$r$} \PSFM{R}{$R$} \PSFM{s}{$s$} \PSFM{M}{$M$} 
\PSF{S}{S (Schwerpunkt)} \PSFM{m}{$m$} \PSFM{v}{$v$} 
\PSFM{B}{zum Beobachter} \PSFM{V}{$V$} 
}{%\parfillskip0pt
Die Erde (Beobachter) liegt genau in der Bahnebene eines extrasolaren
Planetensystems. Eine Spektrallinie des Sternenlichts wird ein Jahr lang mit
einem Gitterspektrometer (8000 Linien pro cm) in zweiter Ordnung
beobachtet. Der Winkel $\varphi$ dieser Linie zum Hauptmaximum schwankt mit
der Periode $T=69\,\text{d}\,9\,\text{h}\,30\,\text{min}$ zwischen den
Extremwerten $\varphi_{\text{min}}=59^{\circ}\,46'\,7{,}308''$ und 
$\varphi_{\text{max}}=59^{\circ}\,46'\,7{,}432''$. 
Ebenfalls aus dem Spektrum de Sterns kann man seine {\em Spektralklasse} und
daraus ungef"ahr seine Masse zu $M=1{,}4\cdot 10^{30}\,\text{kg}$ bestimmen. 
}\\[-2mm]
\begin{enumerate}
\item Wir bezeichnen mit $\varphi_{0}$ den Mittelwert der gemessenen Winkel
  und mit $\Delta\varphi$ die gr"o"ste Abweichung von $\varphi_{0}$. Beweise
  f"ur die Schwankung $\Delta\lambda$ der gemessenen Wellenl"ange unserer
  Spektrallinie die Formel
  \[\Delta\lambda=\frac{1}{2}d\Delta\varphi\cos\varphi_{0}\]
  und erkl"are in Worten, wie diese Schwankung entsteht. Welche Wellenl"ange
  $\lambda_{0}$ hat das Licht unserer Spektrallinie im System des Sterns? 
  Berechne auch den Zahlenwert von $\Delta\lambda$.
\item Zitiere eine bekannte N"aherungsformel und beweise damit in
  nachvollziehbarer Weise
  \[\sqrt{\frac{1+h}{1-h}}\approx 1+h\quad\text{f"ur $|h|\ll 1$}.\]
  Berechne dann die Geschwindigkeit $V$ und den Radius $R$ der als
  kreisf"ormig angenommenen Sternbewegung
  um den gemeinsamen Schwerpunkt S von Stern und Planet.
\item Stelle eine Gleichung f"ur das Kr"aftegleichgewicht am Stern auf. 
  Welcher Zusammenhang besteht zwischen $M$, $m$, $R$ und dem
  Radius $r$ der Planetenbahn? Berechne jetzt $m$ und $r$ unter der Annahme
  $m\ll M$ bzw. $R\ll r$ (keine kubische Gleichung f"ur $m$ l"osen, sondern
  vorher N"aherung anwenden!).
\item Welchen Winkelabstand $\varepsilon$ m"ussen zwei Lichtpunkte mindestens
  haben, um mit einem Teleskop (kreisf"ormige Eintritts"offnung mit
  Durchmesser $a$) gerade noch getrennt wahrgenommen zu werden? Herleitung der
  Formel anhand einer sauber beschrifteten Skizze!

  Wie viele Lichtjahre darf unser beobachtetes Planetensystem h"ochstens von
  der Erde entfernt sein, damit das Keck-Teleskop ($a=10\,\text{m}$) Stern und
  Planet in der g"unstigsten Lage gerade noch trennen kann? 
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item  
Hauptmaximum 2. Ordnung am Gitter:\quad
$\D d\sin\varphi=2\lambda\quad\DANN\quad\lambda=\frac{d}{2}\sin\varphi$
 \[\frac{\Delta\lambda}{\Delta\varphi}\approx
 \left.\frac{\RMd\lambda}{\RMd\varphi}\right|_{\varphi=\varphi_{0}}=
 \frac{1}{2}d\cos\varphi_{0}\quad\DANN\quad
 \Delta\lambda\approx
 \frac{1}{2}d\Delta\varphi\cos\varphi_{0}\]
 Das Maximum der Wellenl"ange entsteht, wenn sich der Stern mit $V$ vom
 Beobachter weg bewegt, das Minimum, wenn er sich auf den Beobachter zu
 bewegt. 
 \[\varphi_{0}=59{,}76871389^{\circ}=1.043160847\quad\DANN\quad
  \lambda_{0}=\frac{d}{2}\sin\varphi_{0}=5{,}40\cdot 10^{-7}\,\text{m}=
  540\,\text{nm}\]
\[\Delta\varphi=0{,}062''=0{,}0000172^{\circ}=0{,}3006\cdot 10^{-6}
 \quad\DANN\quad\Delta\lambda=9{,}46\cdot 10^{-14}\,\text{m}\]
\item\mbox{} 
\vspace{-10mm} 
 
  \[\frac{1}{1-h}\approx 1+h\quad\DANN\quad
  \sqrt{\frac{1+h}{1-h}}\approx\sqrt{(1+h)^{2}}=1+h\quad
  \text{f"ur $|h|\ll 1$}.\]
Stern bewegt sich vom Beobachter weg: 
  \[\lambda'=\lambda_{0}+\Delta\lambda=
   \lambda_{0}\cdot\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
   \approx\lambda_{0}(1+\beta)\quad\DANN\quad
   \Delta\lambda=\beta\lambda_{0}\]
  \[\beta=\frac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}=1{,}75\cdot 10^{-7}
   \quad\DANN\quad V=\beta c=52{,}5\,\RFRAC{m}{s}\]
  \[2R\pi=VT\quad\DANN\quad R=\frac{VT}{2\pi}=5{,}0\cdot 10^{7}\,\text{m}\]
\item Zentripetalkraft $=$ Gravitationskraft und S $=$ Schwerpunkt:
  \[\frac{GMm}{s^{2}}=\frac{MV^{2}}{R}\quad\text{und}\quad MR=mr\]
  Mit $R\ll r$ folgt $s=r+R\approx r=\frac{MR}{m}$ und damit
  \[\frac{GMm}{s^{2}}\approx\frac{GMm^{3}}{M^{2}R^{2}}=\frac{MV^{2}}{R}
  \quad\DANN\quad m\approx\sqrt[3]{\frac{M^{2}V^{2}R}{G}}=
  1{,}6\cdot 10^{27}\,\text{kg}\] 
  \[r=\frac{MR}{m}=4{,}4\cdot 10^{10}\,\text{m}\]
\item \EPSR{7cm}{rerr083L}{6.5cm}{}{
 \PSFM{e}{$\varepsilon$} \PSFM{x}{$x$} 
}{
Gerade noch trennbar: Hauptmaximum des einen Punktes f"allt mit dem ersten
Beugungsminimum des anderen Punktes zusammen:
\[a\sin\varepsilon=1{,}22\cdot\lambda_{0}\]
}
\[\varepsilon\ll
1\quad\DANN\quad\varepsilon\approx\sin\varepsilon=\frac{1{,}22\lambda_{0}}{a} 
  =6{,}6\cdot 10^{-8}\quad\DANN\quad
 x\approx\frac{r+R}{\varepsilon}=6{,}7\cdot 10^{17}\,\text{m}=71\,\text{LJ}\]
\end{enumerate}
}
