\ANG{
Die Erde (E) und ein $s=6\,$LJ entfernter Planet P ruhen im System S, die Erde
am Ursprung. Ein Raumschiff R bewegt sich mit $v=0{,}6c$ relativ zu S von E
nach P, R ruht am Urprung von S$'$. Genau auf halber Strecke zwischen E und P
(Ereignis E$_{2}$) sendet R ein Funksignal S$_{1}$ zur Erde und ein weiteres
Signal S$_{2}$ zum Planeten.\\
Bezeichnunsweise: $\text{E}_{n}(x_{n}|t_{n})_{\text{S}}$, 
$\text{E}_{n}(x_{n}'|t_{n}')_{\text{S}'}$
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Brehmediagramm der Systeme S und S$'$. Berechne dazu
  $\tan\varphi$, wobei $2\varphi$ der Winkel zwischen $x$- und $x'$-Achse ist.

  Trage die Ereignisse
  E$_{1}$: \GF{R erreicht P} und E$_{2}$: \GF{R genau auf halber Strecke} und
  die Weltlinien der beiden Signale in das Diagramm ein.\\
  Beschrifte die Ereignisse  E$_{3}$: \GF{S$_{1}$ erreicht E} und E$_{4}$:
  \GF{S$_{2}$ erreicht P} und die Weltlinien von E, P und R.
    .
\item Berechne die Zeiten $t_{1}$, $t_{1}'$, $t_{2}$, $t_{3}$ und $t_{4}$. Entnimm
  $x_{4}'$ und $t_{4}'$ dem Diagramm.
\item Mache im Diagramm erkenntlich, wie man $t_{3}'$ findet und {\em
    berechne} dann $t_{3}'$.
\item Die Signale S$_{1}$ und S$_{2}$ werden in S$'$ mit der Frequenz 
  $f_{\text{S}}=300\,\text{MHz}$ abgeschickt. Auf welche Frequenz
  $f_{\text{P}}$ muss der Empf"anger auf dem Planeten P bzw. auf
   welche Frequenz $f_{\text{E}}$ muss der Empf"anger auf der Erde eingestellt werden?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSC{rerr094}{12cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{ct}{$ct$} \PSFM{xs}{$x'$} \PSFM{cts}{$ct'$} 
\PSFM{P}{P} \PSFM{E}{E} \PSFM{R}{R} 
\PSFM{t1}{$ct_{1}$} \PSFM{t2}{$ct_{2}$} \PSFM{t3}{$ct_{3}$} 
\PSFM{t4s}{$ct_{4}'$} \PSFM{x4s}{$x_{4}'$} \PSFM{t3s}{$ct_{3}'$}
\PSFM{E1}{E$_{1}$} \PSFM{E2}{E$_{2}$} \PSFM{E3}{E$_{3}$} 
\PSFM{E4}{E$_{4}$}
\PSFM{S1}{S$_{1}$} \PSFM{S2}{S$_{2}$} \PSFM{2fi}{$2\varphi$} 
\PSFM{1}{1\,LJ}
\PSFM{fi}{\parbox[t]{3cm}{$\sin 2\varphi=\beta=0{,}6$\\
$\varphi=18{,}43^{\circ}$\\
$\tan\varphi=\frac 13$}} 
}
\item $\D t_{1}=\frac{s}{v}=\frac{6c\,\text{a}}{0{,}6c}=10\,\text{a}$,\qquad
$\D t_{1}'=t_{1}\sqrt{1-\beta^{2}}=0{,}8\,t_{1}=8\,\text{a}$,\quad
$\D t_{2}=\frac{t_{1}}{2}=5\,\text{a}$\\[2mm]
F"ur die halbe Strecke $\frac{s}{2}$ brauchen die Signale in S die Zeit 
$\Delta t=\frac{s}{2c}=3\,\text{a}\quad\DANN$\\[2mm]
$\D t_{3}=t_{4}=t_{2}+\Delta t=8\,\text{a}$,\quad
$x_{4}'=1{,}5\,\text{LJ}$,\quad $\D t_{4}'=5{,}5\,\text{a}$
\item $\D\frac{ct_{3}}{ct_{3}'}=\cos 2\varphi\QDQ
t_{3}'=\frac{t_{3}}{\cos 2\varphi}=\frac{t_{3}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=
\frac{8\,\text{a}}{0{,}8}=10\,\text{a}$
\item $\D f_{\text{P}}=f_{\text{S}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=
f_{\text{S}}\sqrt{\frac{1{,}6}{0{,}4}}=2f_{\text{S}}=600\,\text{MHz}$\\[2mm]
$\D f_{\text{E}}=f_{\text{S}}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}=
f_{\text{S}}\sqrt{\frac{0{,}4}{1{,}6}}=\frac 12f_{\text{S}}=150\,\text{MHz}$
\end{enumerate}
}
