\ANG{
Der LHC (Large Hadron Collider) am CERN beschleunigt Protonen und schwere
Ionen auf einer kreisf"ormigen Strecke der L"ange $u=26{,}659\,\text{km}$.
\begin{enumerate}
\item Protonen erreichen die Endenergie $W_{\text{p}}=7{,}01\,\text{TeV}$. Um
  welchen Bruchteil weicht die Endgeschwindigkeit $v$ der Protonen von der
  Lichtgeschwindigkeit ab?
\item Berechne die St"arke $B$ des Magnetfeldes, das die Protonen auf ihre
  Kreisbahn zwingt.
\item Auf welche Energie $W_{\text{Z}}$ kann der LHC nackte Atomkerne
  der Masse $M$ und der Ladung $q=Ze$ bei dem in Teilaufgabe (b) berechneten
  Magnetfeld beschleunigen? Wie gro"s ist $W_{\text{Z}}$ f"ur Bleikerne ($Z=82$)?   
\item Wie gro"s darf die Masse $M_{\text{H}}$ des Higgsteilchens h"ochstens
  sein, wenn es durch den Sto"s zweier gegenl"aufiger Bleikerne erzeugt werden
  soll (es wird immer ein Teilchen-Antiteilchen-Paar erzeugt)?
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\gamma=\frac{W_{\text{p}}}{m_{\text{p}}c^{2}}=
  \frac{7010\,\text{GeV}}{0{,}938\,\text{GeV}}=7471=
  \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$,\quad
  $\D\beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}\approx
  1-\frac{1}{2\gamma^{2}}$\\[2mm]
  $\D\frac{c-v}{c}=1-\beta\approx\frac{1}{2\gamma^{2}}=8{,}96\cdot 10^{-9}$
\item $\D\frac{\gamma m_{\text{p}}v^{2}}{r}=evB\QDQ
  B=\frac{\gamma m_{\text{p}}v}{re}=\frac{\gamma\beta m_{\text{p}}c}{re}=
  5{,}51\,\text{T},\quad(r=4243\,\text{m})$
\item $\D B=\gamma'\beta'\frac{Mc}{Zre}=\gamma\beta\frac{m_{\text{p}}c}{re}
  \QDQ\gamma'\beta'=\frac{\gamma\beta m_{\text{p}}Z}{M}\approx\gamma'$\\[2mm]
  $W_{\text{Z}}=\gamma'Mc^{2}\approx Z\gamma m_{\text{p}}c^{2}=Z W_{\text{p}}=
  82 W_{\text{p}}=575\,\text{TeV}$\\[2mm]
Exakte Rechnung:\\[2mm]
 $\D\gamma'\beta'=\sqrt{\gamma'^{2}-1}\QDQ
\gamma'^{2}=1+\left(\gamma'\beta'\right)^{2}=
1+\frac{\beta^{2}\gamma^{2}m_{\text{p}}^{2}Z^{2}}{M^{2}}$\\[2mm]
$\D W_{\text{Z}}=
Mc^{2}\sqrt{1+\frac{\beta^{2}\gamma^{2}m_{\text{p}}^{2}Z^{2}}{M^{2}}}=
\sqrt{M^{2}c^{4}+Z^{2}\beta^{2}W_{\text{p}}^{2}}\approx ZW_{\text{p}}$
\item $\D M\approx 207\,u\QDQ M_{\text{H}}=\frac{W_{\text{Z}}-Mc^{2}}{c^{2}}=1{,}02\cdot 10^{-21}\,\text{kg}$
\end{enumerate}
}
