\ANG{
Welche Energie hat ein Proton, das bei einem Wettrennen mit einem Lichtstrahl
"uber die Strecke $s=100\,\text{LJ}$ nur um $\Delta s=100\,\text{m}$ zur"uck
liegt? In welcher Eigenzeit $\tau$ bestreitet das Proton das Rennen?
}
\LSG{
In der Zeit $\D t=\frac{s}{c}$ legt das Licht die Strecke $s$ und das Proton
die Strecke $s-\Delta s$ zur"uck:
\[vt=\beta c\cdot\frac{s}{c}=\beta s=s-\Delta s\QDQ
  \beta=1-\frac{\Delta s}{s}\]
\[\beta=1-\alpha\quad\text{mit}\quad 
  \alpha=\frac{\Delta s}{s}=\frac{100\,\text{m}}{9{,}46\cdot
    10^{17}\,\text{m}}=1{,}057\cdot 10^{-16}\]
\[1-\beta^{2}=(1-\beta)(1+\beta)=\alpha(2-\alpha)\approx 2\alpha\]
\[\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\approx\frac{1}{\sqrt{2\alpha}}=
  6{,}88\cdot 10^{7}\]
\[W=\gamma m_{\text{p}}c^{2}=0{,}0103\,\text{J}\]
\[\tau=\frac{t}{\gamma}=
  \frac{3{,}16\cdot 10^{9}\,\text{s}}{6{,}88\cdot 10^{7}}=45{,}9\,\text{s}\]
}
