\ANG{
Ein anf"anglich ruhendes Teilchen der Ruhmasse $m$ und der Ladung $q$ wird von
der Spannung $U$ beschleunigt.
\begin{enumerate}
\item  Berechne Formeln f"ur die Endgeschwindigkeit des Teilchens 
  einmal klassisch (nichtrelativistisch) und einmal relativistisch. Berechne im
  relativistischen Fall auch das Verh"altnis $\frac{W}{W_{0}}$.
\item Berechne $v_{\mathrm{kl}}$, $v_{\mathrm{rel}}$ und $\frac{W}{W_{0}}$ f"ur ein
  Elektron und f"ur ein Proton, einmal f"ur $U=2500\,$V und einmal f"ur 
  $U=5{,}000\cdot 10^{6}\,$V. Wie gro"s ist jeweils der relative Fehler der
  nichtrelativistischen Rechnung?   
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D v_{\text{kl}}=\sqrt{\frac{2W_{\text{kin}}}{m}}=
\sqrt{\frac{2qU}{m}}$,\quad
$\D v_{\text{rel}}=c\cdot\frac{\sqrt{qU(qU+2mc^{2})}}{qU+mc^{2}}$

$\D\frac{W}{W_{0}}=\frac{W_{0}+W_{\text{kin}}}{W_{0}}=
1+\frac{W_{\text{kin}}}{mc^{2}}=1+\frac{qU}{mc^{2}}$
\item Elektron:\quad
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
   $U$ & $v_{\text{kl}}$ & $v_{\text{rel}}$ & 
       $\D\frac{v_{\text{kl}}-v_{\text{rel}}}{v_{\text{rel}}}$ &
       $\D\gamma=\frac{W}{W_{0}}$\\\hline
  2500\,V & $0{,}0989c$ & $0{,}0986c$ & 0,37\,$\%$ & 1,0049 \\\hline
  $5\cdot 10^{6}$\,V & $4{,}42c>c\,$!! & $0{,}9957c$ & 344\,$\%$ & 10,78 
  \end{tabular}\\

Proton:\quad
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
   $U$ & $v_{\text{kl}}$ & $v_{\text{rel}}$ & 
       $\D\frac{v_{\text{kl}}-v_{\text{rel}}}{v_{\text{rel}}}$ &
       $\D\gamma=\frac{W}{W_{0}}$\\\hline
  2500\,V & $0{,}00231c$ & $0{,}00231c$ & $2\cdot 10^{-4}\,\%$ & $1+2{,}6\cdot 10^{-6}$ \\\hline
  $5\cdot 10^{6}$\,V & $0{,}1032c$ & $0{,}1028c$ & 0,40\,$\%$ & 1,0053 
  \end{tabular}
\end{enumerate}


}
