\ANG{
\begin{enumerate}
\item Berechne den Lorentzfaktor $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ f"ur ein Proton mit 
  $W=400\,$GeV (Superprotonensynchrotron am CERN) und f"ur ein Elektron mit
  $W=21\,$GeV (Linearbeschleuniger in Stanford, USA). Wie gro"s ist $\beta$ in beiden
  F"allen?
\item In welcher Eigenzeit legt ein Elektron mit der Energie 1\,J die Strecke
  vom Quasar 3C\,48 bis zur Erde ($4{,}8\cdot 10^{9}$LJ) zur"uck? Welche Energie m"usste
  man aufbringen, um ein 100\,t schweres Raumschiff in der gleichen Eigenzeit zu diesem
  Quasar zu schicken? 
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\gamma=\frac{W}{W_{0}}=\relgamma$,\quad
$\D\beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}\approx 1-\frac{1}{2\gamma^{2}}$,\quad da
$\D\frac{1}{\gamma^{2}}\ll 1$

\begin{tabular}[t]{rcll}
Proton &:& $\D\gamma=\frac{400\,\text{GeV}}{0{,}93827\,\text{GeV}}=
426$ & $\beta=1-2{,}75\cdot 10^{-6}$\\[4mm]
%&&&\\
Elektron &:& $\D\gamma=\frac{21\,000\,\text{MeV}}{0{,}511\,\text{MeV}}=
4{,}11\cdot 10^{4}$ & $\beta=1-2{,}96\cdot 10^{-10}$
\end{tabular}
\item $\D\gamma=
\frac{1\,\text{J}}{0{,}511\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J}}=
1{,}22\cdot 10^{13}$

$\D\beta =1-\alpha$\quad mit\quad $\alpha=\frac{1}{2\gamma^{2}}=3{,}35\cdot
10^{-27}$

$\D\tau=\frac{s}{c}\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{s}{c}
\sqrt{\underbrace{(1-\beta)}_{\alpha}\underbrace{(1+\beta)}_{\approx
    2}}\approx \frac{s}{c}\sqrt{2\alpha}=\frac{s}{c\gamma}=
\frac{4{,}8\cdot 10^{9}\,\text{a}}{1{,}22\cdot 10^{13}}=12\,400\,\text{s}$

oder $\tau=3\,\text{h}\,27\,\text{min}$

Im Raumschiff steckt die kinetische Energie $W_{\text{k}}=(\gamma
-1)mc^{2}\approx \gamma mc^{2}=1{,}1\cdot 10^{35}\,\text{J}$.

Die tats"achlich aufzuwendende Energie ist viel gr"o"ser, da auch in der von
der Rakete ausgesto"senen Masse (hei"se Gase, Photonen) Energie steckt (siehe
Raketenaufgabe zum Kapitel {\em Energie-Impuls-Beziehungen}). F"ur die
Photonenrakete ist die aufzuwendende Energie $\approx 2\gamma mc^{2}$.
\end{enumerate}



}
