\ANG{
Die Physiker der {\em Enterprise} haben ein kompaktes Synchrotron entwickelt,
dessen Teilchen von einem Magnetfeld der St"arke $B=1{,}00\cdot
10^{3}\,\text{T}$ auf eine Kreisbahn mit dem Radius $r=100\,\text{m}$
gezwungen werden. 
\begin{enumerate}
\item Auf welche Maximalenergie $W'$ (in J und in TeV) k"onnen Elektronen
 mit dieser Maschine beschleunigt werden? Verwende $u'=\overline{\beta}'c$ f"ur die
Elektronengeschwindigkeit und 
$\D\overline{\gamma}'=\frac{1}{\sqrt{1-\overline{\beta}'^{2}}}$. 
\item Die {\em Enterprise} rast mit $v=\beta c$ auf ein feindliches
  Klingonenschiff zu und schleudert ihm einen vom Synchrotron beschleunigten
  Elektronenstrahl entgegen. Dr"ucke den Impuls $p'$ eines Elektrons im System
  der {\em Enterprise} durch $W'$ aus und berechne dann allgemein die Energie $W$ und
  den Impuls $p$ eines Elektrons im System des Klingonenschiffs, ausgedr"uckt
  durch $W'$, $W_{0}=m_{\text{e}}c^{2}$ und $\beta$. Vereinfache die
  Ergebnisse f"ur $1-\beta\ll 1$ und $W'\gg W_{0}$.
\item Im System der {\em Enterprise} hat der abgefeuerte Elektronenstrahl die
  Stromst"arke $I=1{,}00\,\text{A}$ und dauert genau 1,00\,s. Welche
  Gesamtenergie $W_{\text{g}}$ und welchen Gesamtimpuls $p_{\text{g}}$ hat der
  Strahl im System des Klingonenschiffs f"ur $\beta=0{,}9999$?
\item Die Masse des Klingonenschiffs ist $m_{\text{K}}=1{,}00\cdot
  10^{6}\,\text{kg}$ und der gesamte Elektronenstrahl wird vom Schiff
  absorbiert. Welche Geschwindigkeit $v_{\text{K}}$ und welche kinetische
  Energie $W_{\text{K}}$ hat das Schiff nach dem
  Treffer ($v_{\text{K}}\ll c$)? Reicht die restliche absorbierte Energie aus,
  das Schiff zu verdampfen?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\frac{\overline{\gamma}'m_{\text{e}}u'^{2}}{r}=eu'B\QDQ
  \frac{\overline{\gamma}'\overline{\beta}'m_{\text{e}}c}{r}=eB\QDQ
  \overline{\gamma}'\overline{\beta}'=\frac{eBr}{m_{\text{e}}c}=
  5{,}87\cdot 10^{7}\gg 1$\\[2mm]
$\D\DANN\quad\overline{\gamma}'\approx\frac{eBr}{m_{\text{e}}c}=
5{,}87\cdot 10^{7}$, exakt:
$\D\overline{\gamma}'=\sqrt{1+\left(\frac{eBr}{m_{\text{e}}c}\right)^{2}}$\\[2mm]
$\D W'=\overline{\gamma}'m_{\text{e}}c^{2}=eBrc=4{,}80\cdot 10^{-6}\,\text{J}=
30{,}0\,\text{TeV}$
\item $\D W'^{2}=W_{0}^{2}+p'^{2}c^{2}\QDQ
  p'=\frac{1}{c}\sqrt{W'^{2}-W_{0}^{2}}$\\[2mm] 
Lorentztransformation: $\D\frac{W}{c}=
  \gamma\left(\frac{W'}{c}+\beta p'\right)\quad\DANN$\\[2mm]
$\D W=\gamma\left(W'+\beta c p'\right)=
  \gamma\left(W'+\beta \sqrt{W'^{2}-W_{0}^{2}}\right)\approx
  2\gamma W'$\\[2mm]
$\D p=\gamma\left(p'+\beta\frac{W'}{c}\right)=
  \frac{\gamma}{c}\left(\sqrt{W'^{2}-W_{0}^{2}}+\beta W'\right)\approx
  \frac{2\gamma W'}{c}$\\[2mm]
\item Zahl der Elektronen: $\D N=\frac{1\,\text{As}}{e}=6{,}24\cdot
  10^{18}$\\[2mm]
$\beta=0{,}9999\QDQ\gamma=70{,}71\QDQ 
W=2\gamma W'=6{,}79\cdot 10^{-4}\,\text{J}=4{,}24\cdot
10^{3}\,\text{TeV}$\\[2mm]
$W_{\text{g}}=NW=4{,}24\cdot 10^{15}\,\text{J}$,\quad
$\D p_{\text{g}}=\frac{W_{\text{g}}}{c}=1{,}41\cdot 10^{7}\,\RFRAC{kg\,m}{s}$
\item $v_{\text{K}}\ll c\QDQ$nichtrelativistische Rechnung, d.h.\\[2mm]
 $\D p_{\text{K}}=p_{\text{g}}=(m_{\text{K}}+Nm_{\text{e}})v_{\text{K}}\approx 
 m_{\text{K}}v_{\text{K}}$ wegen 
$\D Nm_{\text{e}}=5{,}7\cdot 10^{-12}\,\text{kg}\ll m_{\text{K}}$\\[2mm]
$\D v_{\text{K}}=\frac{p_{\text{g}}}{m_{\text{K}}}=14{,}1\,\RFRAC{m}{s}$,\quad
$\D W_{\text{K}}=\frac{p_{\text{K}}^{2}}{2(m_{\text{K}}+Nm_{\text{e}})}\approx
  \frac{p_{\text{g}}^{2}}{2m_{\text{K}}}=1{,}00\cdot 10^{8}\,\text{J}$ \\[2mm]
$\D\Delta W=W_{\text{g}}-W_{\text{K}}\approx W_{\text{g}}$,\quad
$\D\frac{\Delta W}{m_{\text{K}}}=4{,}24\cdot 10^{6}\,\RFRAC{kJ}{kg}\gg
q_{\text{Fe}}=6{,}3\cdot 10^{4}\,\RFRAC{kJ}{kg}$
\end{enumerate}
}
