\ANG{
Ein Teilchen der Masse $m$ bewegt sich in einem Inertialsystem mit der
Geschwindigkeit $v=\beta c$ und es ist
$\D\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$. Die Gesamtenergie des Teilchens ist
$W$, seine kinetische Energie $W_{\text{k}}$, seine Ruhenergie $W_{0}$ und
sein Impuls $p$. Mit $\alpha$ 
wird das Verh"altnis $\D\frac{W_{\text{k}}}{W_{0}}$ abgek"urzt.
\begin{enumerate}
\item Beweise in nachvollziehbarer Weise:
  \[p=mc\sqrt{\gamma^{2}-1}=mc\sqrt{\alpha(\alpha+2)}\]
\item Unser Teilchen der Ladung $q$ tritt senkrecht zu den Feldlinien in ein
  Magnetfeld mit 
  der Kraftflussdichte $B$ ein und beschreibt eine Kreisbahn mit Radius
  $r$. Dr"ucke $r$ durch $W_{\text{k}}$ aus.
\item Welche Beschleunigungsspannung $U$ hat ein zun"achst ruhendes Elektron
  durchlaufen, das in eiem Beschleuniger bei $B=5{,}0\,\text{T}$ eine
  Kreisbahn mit $r=4{,}0\,\text{km}$ beschreibt?
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\quad\DANN\quad
 \beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}=\frac{\sqrt{\gamma^{2}-1}}{\gamma}$,
  \qquad$\D\alpha=\frac{W_{\text{k}}}{W_{0}}=\frac{(\gamma-1)W_{0}}{W_{0}}=
  \gamma-1$\\[2mm]  
 $\D p=\gamma mv=\gamma\beta mc=mc\sqrt{\gamma^{2}-1}=
  mc\sqrt{(\gamma-1)(\gamma+1)}=mc\sqrt{\alpha(\alpha+2)}$\\[2mm]
Oder mit der Energie-Impuls-Relation:\\[2mm] 
 $\D W^{2}=W_{0}^{2}+p^{2}c^{2}\quad\DANN\quad p^{2}c^{2}=
(\gamma^{2}-1)m^{2}c^{4}\quad\DANN\quad p=mc\sqrt{\gamma^{2}-1}$
\item $\D\frac{\gamma mv^{2}}{r}=qvB\quad\DANN\quad$\\[2mm]
$\D r=\frac{\gamma mv}{qB}=\frac{\gamma\beta mc}{qB}=
  \frac{p}{qB}=\frac{mc\sqrt{\alpha(\alpha+2)}}{qB}=
  \frac{mc\sqrt{\frac{W_{\text{k}}}
  {mc^{2}}\left(\frac{W_{\text{k}}}{mc^{2}}+2\right)}}{qB}= 
  \frac{\sqrt{W_{\text{k}}(W_{\text{k}}+2mc^{2})}}{qBc}$\\[2mm] 
\item $\D W_{\text{k}}(W_{\text{k}}+2mc^{2})=
  W_{\text{k}}^{2}+2mc^{2}W_{\text{k}}=r^{2}e^{2}B^{2}c^{2}\quad\DANN\quad$\\[2mm]
  $\D W_{\text{k}}=-mc^{2}+\sqrt{m^{2}c^{4}+r^{2}e^{2}B^{2}c^{2}}=
  9{,}6\cdot 10^{-7}\,\text{J}=6{,}0\cdot 10^{12}\,\text{eV},\qquad
  U=6{,}0\cdot 10^{12}\,\text{V}$\\[2mm]
oder:\\[2mm]
  $\D p=reB=mc\sqrt{\gamma^{2}-1}\quad\DANN\quad
   \gamma=\sqrt{1+\frac{r^{2}e^{2}B^{2}}{m^{2}c^{2}}}=
   1{,}17\cdot 10^{7}$\\[2mm]
   $\D W_{\text{k}}=(\gamma-1)mc^{2}=
    1{,}17\cdot 10^{7}\cdot 0{,}511\,\text{MeV}=
    6{,}0\cdot 10^{12}\,\text{eV}$\\[2mm]
\end{enumerate}

}
