\ANG{
{\bf Teilchenerzeugung}\\[2mm]
\EPSR{6cm}{rerr055}{8cm}{}{
\PSFM{S}{S} \PSFM{Ss}{S'} \PSFM{v}{vorher} \PSFM{n}{nachher} 
\PSFM{T1}{alle Teilchen ruhend} \PSFM{T2}{(alle drei Teilchen)} 
\PSFM{u}{$u$} \PSFM{u2}{$u_{2}=0$} 
\PSFM{u1s}{$u_{1}'$} \PSFM{u2s}{$u_{2}'$} \PSFM{m0}{$m$} 
\PSFM{M0}{$M$} \PSFM{uq}{$\overline{u}$}
}{\parfillskip0pt
Im Laborsystem S st"o"st ein Teilchen der Masse $m$ auf ein ruhendes Teilchen
mit 
der gleichen Masse $m$. Nach dem Sto"s ist ein weiteres Teilchen mit der Masse
$M$ vorhanden. Im Schwerpunktsystem S' haben die Teilchen vor dem Sto"s die
Geschwindigkeiten $u_{1}'$ und $u_{2}'$. Die Relativgeschwindigkeit von S' zu S
}\\[-1mm]
sei $v$. Weiter verwenden wir die Bezeichnungen
  $\D\beta=\frac{v}{c}$ und 
$\D\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$.

\begin{tabular}[t]{ccl}
   $W_{\text{k}}$&:& kinetische Energie des bewegten Teilchens in S vor dem
   Sto"s\\ 
   $W_{\text{k}}'$&:& kinetische Energie {\bf eines} Teilchens in S' vor dem
   Sto"s\\ 
   $W$&:& Gesamtenergie in S\\
   $W'$&:& Gesamtenergie in S'
  \end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Beweise:\quad$u_{1}'=v$ und $u_{2}'=-v$.
\item \BEFEHL{Beweise:\quad}{Die Masse $M$ des erzeugten Teilchens ist
  dann maximal, wenn alle drei Teilchen nach dem Sto"s in S' ruhen.}\\

  F"ur das Weitere nehmen wir an, dass $M$ maximal ist, d.h. alle drei Teilchen ruhen
  nach dem Sto"s in S'.
\item Beweise:\qquad$\D\boxed{W=\gamma W'}$\,,\quad
  $\D\boxed{\gamma=1+\frac{M}{2m}}$
  \quad und\quad
  $\D\boxed{\gamma^{2}=\frac{W_{\text{k}}}{2mc^{2}}+1}$
\item Beweise:\quad$\D\boxed{\frac{M}{2m}=\sqrt{1+\alpha}-1}$\quad mit\quad
   $\D\alpha=\frac{W_{\text{k}}}{2mc^{2}}$.\\[1mm]
   Wie vereinfacht sich diese Beziehung f"ur $W_{\text{k}}\gg mc^{2}$\,?
 \item Elementarteilchen werden meist paarweise erzeugt (Teilchen und
   Antiteilchen).  
   Welche maximale Masse $\overline{M}$ kann ein Teilchen eines Paares haben,
   das durch Proton-Proton-St"o"se erzeugt wird mit\\
   \begin{tabular}[t]{ll}
     $W_{\text{k}}=6{,}4\,$GeV & (Bevatron in Berkley, 1954)\\
     %$W_{\text{k}}=500\,$GeV & (Fermilab bei Chicogo, 1972, 6,3\,km Umfang)\\
     $W_{\text{k}}=900\,$GeV & (Tevatron am Fermilab, 80-er-Jahre)\\
     $W_{\text{k}}=7\,$TeV & (LHC, Large-Hadron-Collider, CERN, ca. 2005,
     27\,km Umfang).\\[1mm] 
   \end{tabular}\\
   Wie stark muss das Magnetfeld im LHC sein?
 \item Dr"ucke $W_{\text{k}}$ durch $M$ und $m$ aus. Wie gro"s muss
   $W_{\text{k}}$ sein, um durch einen Proton-Proton-Sto"s
   \begin{enumerate}
   \item ein Proton-Antiproton-Paar
   \item ein Paar von Higgsteilchen ($\overline{M}c^{2}\approx 500\,$GeV)
   \end{enumerate}
   zu erzeugen?
 \item Die Kosten eines Ringbeschleunigers sind ungef"ahr zu seinem Umfang
   proportional (supraleitende Magnetspulen). Man kann die Teilchen eines
   Beschleunigers auf ruhende Teilchen schie"sen (Typ 1, Festtarget) oder die
   Strahlen von zwei 
   Beschleunigern (einer als Speicherring) frontal aufeinander prallen lassen 
   (Typ 2, Collider). Berechne das Verh"altnis 
   der Kosten der beiden Typen in Abh"angigkeit von $M$ und $m$. Es darf
   vorausgesetzt werden, dass $W_{\text{k}}\gg mc^{2}$. Wie gro"s ist dieses
   Verh"altnis speziell f"ur die Erzeugung von Higgsteilchen? Wie gro"s w"are
   der Radius eines Festtargetbeschleunigers mit der gleichen
   Schwerpunktsenergie wie beim LHC?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D u_{2}=u_{2}'\oplus v=\frac{u_{2}'+v}{1+\frac{u_{2}'v}{c^{2}}}=0
  \quad\DANN\quad u_{2}'=-v$, Impulssatz in S': $u_{1}'=-u_{2}'=v$
\item Energiesatz in S':\quad 
  $\D 2\gamma mc^{2}=(2m+M)c^{2}+W_{\text{k,ges}}`$\\[2mm]
 $M$ ist dann maximal, wenn $W_{\text{k,ges}}`=0$, d.h. wenn alle Teilchen
 ruhen. 
\item $\overline{u}=0\oplus v=v\quad\DANN\quad
  W=\gamma(2m+M)c^{2}=\gamma W'$\\[2mm] 
In S':\quad  $\D 2\gamma mc^{2}=(2m+M)c^{2}\quad\DANN\quad
   \gamma=1+\frac{M}{2m}$\\[2mm]
In S:\quad $\D W=2mc^{2}+W_{\text{k}}=\gamma(2m+M)c^{2}=
  \gamma W'=2\gamma^{2}mc^{2}\quad\DANN\quad
  \gamma^{2}=\frac{W_{\text{k}}}{2mc^{2}}+1$\\[2mm]
\item $\D\frac{M}{2m}=\gamma-1=\sqrt{1+\alpha}-1$,\quad
   $\D W_{\text{k}}\gg mc^{2}\quad\DANN\quad\alpha\gg 1\quad\DANN\quad
    \frac{M}{2m}\approx\sqrt{\alpha}$
 \item Mit $m=m_{\text{p}}$ ist $2mc^{2}=1{,}877\,\text{GeV}$. 
  $\overline{M}=\frac{M}{2}=m(\sqrt{1+\alpha}-1)\approx m\sqrt{\alpha}$
  \begin{center}
  \begin{tabular}[t]{ccccc}
    $W_{\text{k}}$ & $\alpha$ & $\frac{\overline{M}}{m_{\text{p}}}$ &
    $\frac{\overline{M}c^{2}}{\text{GeV}}$ & 
    $\frac{W_{\text{k}}}{2\overline{M}c^{2}}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
    6,4\,GeV & 3,41 & 1,10 & 1,03 & 3,10 \\
    900\,GeV & 480 & 20,9 & 19,6 & 22,9 \\
    7\,TeV & 3730 & 60,1 & 56,4 & 62,1
  \end{tabular}
  \end{center}
   Mit $\D \beta_{0}=\frac{u}{c}$ und $\gamma_{0}=\sqrt{1-\beta_{0}^{2}}$
   folgt:\\[2mm] 
  $W=(\gamma_{0}+1)mc^{2}=\gamma W'=2\gamma^{2}mc^{2}\quad\DANN\quad
  \gamma_{0}=2\gamma^{2}-1$\\[2mm]
  $\D\gamma_{0}^{2}-1=4\gamma^{2}(\gamma^{2}-1)=4\alpha(1+\alpha)$\\[2mm]
  $\D\frac{\gamma_{0} mu^{2}}{r}=euB\quad\DANN\quad
   B=\frac{mc}{re}\gamma_{0}\beta_{0}=\frac{mc}{re}\sqrt{\gamma_{0}^{2}-1}=
    \frac{mc}{re}\cdot 2\sqrt{\alpha(1+\alpha)}\approx 
    \frac{mc}{re}\cdot 2\alpha$\\[2mm]
  $\D B\approx \frac{mc}{re}\cdot\frac{2W_{\text{k}}}{2mc^{2}}=
    \frac{W_{\text{k}}}{rec}=5{,}43\,\text{T}$
 \item $\D W_{\text{k}}=2mc^{2}(\gamma^{2}-1)=
   2mc^{2}\left[\left(1+\frac{M}{2m}\right)^{2}-1\right]=
   Mc^{2}\left(2+\frac{M}{2m}\right)=
   2\overline{M}c^{2}\left(2+\frac{\overline{M}}{m}\right)$\\[2mm]
  $\text{p}\overline{\text{p}}$: 
  $\overline{M}=m\quad\DANN\quad W_{\text{k}}=6mc^{2}=
  5{,}63\,\text{GeV}=3\cdot 2\overline{M}c^{2}$\\[2mm]
  Higgs: $W_{\text{k}}=
  10^{3}\,\text{GeV}\cdot\left(2+\frac{500}{0{,}938}\right)=
  535\,\text{TeV}=535\cdot 2\overline{M}c^{2}$
 \item Der Preis $x$ ist zum Radius der Anlagen proportional:
\\[2mm]
  $\D\frac{x}{x'}=\frac{r}{2r'}=
   \frac{\frac{mc}{eB}\sqrt{\gamma_{0}^{2}-1}}
          {2\cdot\frac{mc}{eB}\sqrt{\gamma^{2}-1}}=
   \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{\gamma_{0}^{2}-1}{\gamma^{2}-1}}=
   \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{4\alpha(1+\alpha)}{\alpha}}=
   \sqrt{1+\alpha}=\gamma=1+\frac{\overline{M}}{m}$\\[2mm]
  F"ur $\overline{M}c^{2}=500\,\text{GeV}$: $\D\frac{x}{x'}=534$.\\[2mm]
  Ein Festtargetbeschleuniger mit der gleichen Schwerpunktsenergie wie der LHC
  ($\overline{M}c^{2}=7\,\text{TeV}$) w"urde 7460 mal soviel kosten wie der
  LHC, sein Umfang w"are ungef"ahr $4\cdot 10^{5}\,\text{km}$.
\end{enumerate}







}
