\ANG{
In der speziellen Relativit"atstheorie gilt die Formel f"ur die Lorentzkraft
unver"andert wie in der Elektrodynamik (die Elektrodynamik {\em ist} schon eine
relativistische Theorie!), der relativistische Ausdruck f"ur die
Zentripetalkraft lautet
\[F_{\text{Z}}=\frac{\gamma mv^{2}}{r}\qquad\text{mit}\qquad
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\qquad\text{und}\qquad
\beta=\frac{v}{c}\]
In den gro"sen ringf"ormigen Teilchenbeschleunigern werden Teilchen der
Ladung $q$, der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v=\beta c$ von einem
Magnetfeld mit der Kraftflussdichte $B$ auf ihre Kreisbahn mit Radius $r$
gezwungen. 
\begin{enumerate}
\item Beweise, am einfachsten mit der Energie-Impuls-Relation, die Beziehung
\[Brqc=\sqrt{W^{2}-W_{0}^{2}},\]
wobei $W$ die Gesamtenergie und $W_{0}$ die Ruhenergie eines Teilchens
bezeichnet. Wie vereinfacht sich diese Beziehung in guter N"aherung f"ur 
$W\gg W_{0}$? 
\item Ein zuk"unftiger Ultra-Beschleuniger wird entlang des Mond-"Aquators
  gebaut ($r=1738\,\text{km}$) und mit $B=20\,\text{T}$ betrieben. Welche
  Energie (in J und in TeV) haben Protonen in dieser Maschine?  
\item Der Ultra-Beschleuniger soll als Verteidigungswaffe gegen feindliche
  Raumschiffe eingesetzt werden. Wir nehmen an, dass die kreisenden Protonen
  einen Strom der St"arke $I=1{,}0\,\text{mA}$ bilden und der gesamte
  Protoneninhalt des Beschleunigers gegen das Ziel geschickt wird. 
\begin{enumerate}
\item Zeige durch
  eine nachvollziehbare Rechnung mit begr"undeten Ans"atzen, dass der
  Beschleuniger mit $N=2{,}3\cdot 10^{14}$ Protonen gef"ullt ist und berechne
  dann die Gesamtenergie $W_{\text{g}}$ und den Gesamtimpuls $p_{\text{g}}$
  des Protonenstrahls.
\item Wieviel Eisen kann mit der kinetischen Energie des Protonenstrahls
  verdampft werden, wenn dazu f"ur 1\,kg Eisen der Temperatur 0\,K die
  Energie 8,5\,MJ n"otig wird.
\item In welcher Eigenzeit $\tau$ legt der Protonenstrahl die Strecke 
$s=1{,}0\cdot 10^{6}\,\text{km}$ zur"uck?
\item Warum w"are der Bau eines gleichartigen Beschleunigers auf der Erde
  teurer und sein Einsatz als Waffe problematischer als auf dem Mond?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Aus $\D\frac{\gamma mv^{2}}{r}=qvB$ folgt mit $p=\gamma mv$ und 
$W^{2}=W_{0}^{2}+p^{2}c^{2}$
\[\frac{p}{r}=qB\QDQ pc=Brqc=\sqrt{W^{2}-W_{0}^{2}}\]
F"ur $W\gg W_{0}$ gilt $W^{2}-W_{0}^{2}\approx W^{2}$ und damit 
$W\approx Brqc$.
\item $W\approx Brec=1{,}67\,\text{mJ}=1{,}04\cdot 10^{16}\,\text{eV}$
\item\begin{enumerate}
\item  Da die Protonen praktisch mit $c$ umlaufen, ist die Zeit f"ur einen
  Umlauf
\[\Delta t=\frac{2\pi r}{c}=0{,}0364\,\text{s}\]
Die gesamte Ladung im Strahl ist also
\[Q=I\cdot\Delta t=3{,}64\cdot 10^{-5}\,\text{C}\QDQ
 N=\frac{Q}{e}=2{,}3\cdot 10^{14}\]
\[W_{\text{g}}=NW=3{,}8\cdot 10^{11}\text{J},\qquad
p_{\text{g}}=N\cdot\frac{\sqrt{W^{2}-W_{0}^{2}}}{c}\approx\frac{W_{\text{g}}}{c}=
1{,}3\cdot 10^{3}\,\RFRAC{kg\,m}{s}\]
\item 
\[m_{\text{Fe}}=\frac{3{,}8\cdot 10^{11}\text{J}}{8{,}5\cdot
  10^{6}\,\RFRAC{J}{kg}}=4{,}5\cdot 10^{4}\,\text{kg}=45\,\text{t}\]
\item \[\gamma=\frac{W}{W_{0}}=1{,}11\cdot 10^{7},\qquad
\Delta t=\frac{s}{c}=3{,}3\,\text{s}\qquad
\tau=\frac{\Delta t}{\gamma}=3{,}0\cdot 10^{-7}\,\text{s}=300\,\text{ns}\]
\item Auf der Erde muss mit teuren Ger"aten ein Vakuum f"ur den Protonenstrahl
  erzeugt werde, andererseits wird der Strahl durch die Lufth"ulle heftig mit
  dieser reagieren, Energie verlieren und die Umgebung verstrahlen.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
