\ANG{
Ein Gef"a"s mit dem Volumen $V=1{,}00\,\mathrm{m}^{3}$ 
enth"alt reinen Stichstoff (N$_{2}$) der Temperatur $T=24{,}0\GC$, der
Gasdruck betr"agt $p=990\,\mathrm{hPa}$.


\begin{enumerate}
\item Berechne die Zahl $N$ der Gasmolek"ule.
\item Berechne die mittlere Geschwindigkeit $\BRA{v}$ der Stickstoffmolek"ule. 
\item Wie gro"s sind die molare ($c_{\mathrm{Vm}}=\frac{\Delta W}{n\Delta T}$)
  und die spezifische ($c_{\mathrm{V}}=\frac{\Delta W}{m\Delta T}$) 
  W"armekapazit"at von Stickstoff bei \GF{mittleren} Temperaturen?
\item F"ur die Zahl d$N$ der Molek"ule (Masse $M$) mit einer Geschwindigkeit aus dem
  Intervall $[v,v+\RMd v]$ gilt nach Maxwell
\[\frac{\RMd N}{\RMd v}=\sigma(v)=\frac{4N}{\sqrt{\pi}v_{\text{m}}^{3}}
\cdot v^{2}\cdot e^{-\frac{v^{2}}{v_{\text{m}}^{2}}}\qquad\text{mit}\qquad
v_{\text{m}}=\sqrt{\frac{2kT}{M}}\]
Berechne $\sigma(v)$ f"ur $v\in\{200\,\RFRAC{m}{s},v_{\text{m}},\BRA{v},
800\,\RFRAC{m}{s},900\,\RFRAC{m}{s},1100\,\RFRAC{m}{s}\}$ und zeichne den
Grafen von $\sigma(v)$. Sch"atze in nachvollziehbarer Weise die Zahl $\Delta
N$ der Molek"ule ab, deren Geschwindigkeit im Intervall 
$[800\,\RFRAC{m}{s},900\,\RFRAC{m}{s}]$ liegt. Wie gro"s ist der relative
Fehler deiner Sch"atzung, wenn der genaue Wert $\Delta N=8{,}99\cdot 10^{23}$
ist? 
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D N=\frac{pV}{kT}=
\frac{99000\,\RFRAC{N}{m^{2}}\cdot 1\,\text{m}^{3}}
{1{,}38\cdot 10^{-23}\,\RFRAC{J}{K}\cdot 297{,}15\,\text{K}}=
2{,}41\cdot 10^{25}$
\item $\D\frac{3}{2}kT=\frac{M}{2}\BRA{v^{2}}\quad\text{und}\quad M=28u\quad\DANN\quad
\sqrt{\BRA{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{M}}=515\,\RFRAC{m}{s}\quad\DANN$

$\D\BRA{v}=0{,}92\sqrt{\BRA{v^{2}}}=473\,\RFRAC{m}{s}$
\item $\D c_{\mathrm{Vm}}=\frac{\Delta W}{n\Delta T}=
\frac{\frac{5}{2}Nk\Delta T}{n\Delta T}=
\frac{5Nk}{2n}=\frac{5nN_{\text{A}}k}{2n}=\frac{5N_{\text{A}}k}{2}=\frac{5}{2}R=
2{,}08\cdot 10^{4}\,\RFRAC{J}{K\cdot kmol}$

$\D c_{\mathrm{V}}=\frac{\Delta W}{m\,\Delta T}=
  \frac{\frac{5}{2}Nk\Delta T}{N\cdot 28u\cdot \Delta T}=
\frac{5k}{56u}=0{,}742\,\RFRAC{kJ}{kg\,K}$\\

oder: 1\,kmol unseres Gases hat die Masse 28\,kg\quad$\DANN$\quad
$\D c_{\mathrm{V}}=\frac{c_{\mathrm{Vm}}}{28\,\RFRAC{kg}{kmol}}=
0{,}742\,\RFRAC{kJ}{kg\,K}$
\item $\D v_{\text{m}}=420\,\RFRAC{m}{s}$, 
$\D\frac{4N}{\sqrt{\pi}v_{\text{m}}^{3}}=7{,}346\cdot
10^{17}\,\RFRAC{s^{3}}{m^{3}}$, 
\begin{tabular}[c]{c|c|c|c|c|c|c}
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$v$ in $\RFRAC{m}{s}$  & 200 & 420 & 473 & 800 & 900 & 1100 \\\hline
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$\sigma$ in $10^{20}\,\RFRAC{s}{m}$ & 234 & 477 & 462 &
125 & 60 & 9 
\end{tabular}\\[2mm]
\EPSR{7cm}{warr0951}{7cm}{5cm}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{200}{200} \PSFM{400}{400} \PSFM{600}{600} 
\PSFM{800}{800} \PSFM{1000}{1000} \PSFM{1200}{1200} 
\PSFM{1e+22}{$1\cdot 10^{22}$} \PSFM{2e+22}{$2\cdot 10^{22}$} 
\PSFM{3e+22}{$3\cdot 10^{22}$} \PSFM{4e+22}{$4\cdot 10^{22}$} 
}{
\begin{align}
\Delta N &\approx
\frac{\sigma\left(800\,\RFRAC{m}{s}\right)+\sigma\left(900\,\RFRAC{m}{s}\right)}{2} 
\cdot 100\,\RFRAC{m}{s}\nonumber\\
&= 9{,}28\cdot 10^{23}\nonumber\\
\Delta N &\approx \sigma\left(850\,\RFRAC{m}{s}\right)\cdot
100\,\RFRAC{m}{s}=8{,}85\cdot 10^{23}\nonumber\\
\Delta N &= \int\limits_{800\,\RFRAC{m}{s}}^{900\,\RFRAC{m}{s}}\sigma(v)\,
\RMd v=8{,}99\cdot 10^{23}\nonumber\\
\delta_{\text{rel}} &= \frac{8{,}85-8{,}99}{8{,}99}=-1{,}59\%\nonumber
\end{align}
} 
\end{enumerate}

}
