\ANG{
Um ein Wasserstoffatom zu ionisieren, ist die
Energie $W_{\text{ion}}=13{,}6\,\text{eV}$ (Ionisierungsenergie) n"otig. 
\begin{enumerate}
\item Welche Geschwindigkeit $v_{0}$ muss ein H-Atom besitzen, damit
  seine kinetische Energie gleich $W_{\text{ion}}$ ist? Bei welcher Temperatur
  $T_{0}$ w"are die mittlere kinetische Energie der H-Atome in atomarem
  Wasserstoff gleich der Ionisierungsenergie?
\item Um welchen Faktor unterscheidet sich die gesamte W"armeenergie
  $W_{\text{a}}$ von atomarem Wasserstoff von der gesamten W"armeenergie
  $W_{\text{m}}$ von molekularem Wasserstoff (H$_{2}$) der gleichen Masse und
  der gleichen {\em sehr hohen} Temperatur? Warum ist eine direkte experimentelle
  "Uberpr"ufung des berechneten Wertes nicht m"oglich? 
\item F"ur die Zahl d$N$ der Atome (Masse $M$) mit einer Geschwindigkeit
  aus dem Intervall $[v,v+\RMd v]$ gilt nach Maxwell
 \[\frac{\RMd N}{\RMd v}=\sigma(v)=N\cdot w(v)=
  \frac{4N}{\sqrt{\pi}v_{\text{m}}^{3}} 
\cdot v^{2}\cdot e^{-\frac{v^{2}}{v_{\text{m}}^{2}}}\qquad\text{mit}\qquad 
v_{\text{m}}=\sqrt{\frac{2kT}{M}}\]
Wie gro"s ist ungef"ahr die Wahrscheinlichkeit, ein Gasteilchen im 
Geschwindigkeitsintervall $[0{,}99v_{\text{m}},1{,}01v_{\text{m}}]$ zu finden?
\item Wir betrachten jetzt das fr"uhe Universum zur Zeit der sogenannten 
  {\em Rekombinationsphase} (ca. 370\,000\,a nach dem Urknall). In dieser Zeit
  gehen die H-Atome vom ionisierten in den neutralen Zustand "uber. Wir nehmen
  vereinfacht an, dass das Universum nur aus atomarem Wasserstoff der
  Temperatur $T=3{,}00\cdot 10^{3}\,\text{K}$ und der Dichte
  $\varrho=1{,}3\cdot 10^{-17}\,\RFRAC{kg}{m^{3}}$ besteht.  
  \begin{enumerate}
  \item  Welcher Druck $p$ herrscht in unserem fr"uhen Universum?
  \item Berechne $v_{\text{m}}$ und die mittlere Geschwindigkeit $\BRA{v}$ der
    H-Atome. Berechne $w$ f"ur $0{,}5\,v_{\text{m}}$, $v_{\text{m}}$, 
    $\sqrt{\BRA{v^{2}}}$, $2v_{\text{m}}$ und $3v_{\text{m}}$ und 
    skizziere damit den Verlauf von $w(v)$.
  \item  Sch"atze in nachvollziehbarer Weise die Zahl $\Delta N$ der 
    Atome in einem W"urfel mit der Kantenl"ange $10\,\mathrm{km}$ ab, deren
    Geschwindigkeit 
    gr"o"ser als $v_{0}$ ist (wie viele Atome dann tats"achlich ionisiert
    sind, ist eine kompliziertere Angelegenheit). Zeichne dazu $w(v)$ im
    Intervall $[v_{0},1{,}04v_{0}]$ und trage alle der
    Verst"andlichkeit zutr"aglichen Hilfslinien und Beschriftungen ein. 
    Wie l"asst sich das Ergebnis physikalisch interpretieren? 
  \end{enumerate}


 
\end{enumerate}} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\frac{M}{2}\,v_{0}^{2}=W_{\text{ion}}\quad\DANN\quad
  v_{0}=\sqrt{\frac{2W_{\text{ion}}}{M}}=
%  \sqrt{\frac{2\cdot 13{,}6\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,
%  \mathrm{kg\,m^{2}}}{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg\,s^{2}}}}=
  5{,}104\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
  $\D \frac{3}{2}\,kT_{0}=W_{\text{ion}}\quad\DANN\quad
   T_{0}=\frac{2W_{\text{ion}}}{3k}=
   \frac{2\cdot 2{,}18\cdot 10^{-18}\,\text{J}}
     {3\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}\,\RFRAC{J}{K}}=1{,}05\cdot 10^{5}\,\text{K}$
\item Bei H$_{2}$ sind bei sehr hohen Temperaturen Rotationen und
  Schwingungen angeregt, d.h. ($N$ ist die Zahl der H-Atome)
  \[ W_{\text{a}}=N\cdot\frac{3}{2}\,kT\text{ und }
     W_{\text{m}}=\frac{N}{2}\cdot\frac{7}{2}\,kT\QDQ
   \frac{W_{\text{a}}}{W_{\text{m}}}=\frac{3\cdot 4NkT}{7\cdot 2NkT}=\frac67\]
  Bei gegebenem $T$ kann das Gas nicht einmal atomar und einmal
  molekular vorliegen.
\item $\D P=\frac{\Delta N}{N}=\int\limits_{0{,}99v_{\text{m}}} 
  ^{1{,}01v_{\text{m}}} 
  \frac{4}{\sqrt{\pi}v_{\text{m}}^{3}}\cdot v^{2}\cdot 
  e^{-\frac{v^{2}}{v_{\text{m}}^{2}}}\,\RMd v\approx 
   \frac{4}{\sqrt{\pi}v_{\text{m}}^{3}}\cdot v_{\text{m}}^{2}\cdot 
  e^{-1}\cdot 0{,}02v_{\text{m}}= \frac{0{,}08}{e\sqrt{\pi}}=1{,}66\%$ 
\item
  \begin{enumerate}
  \item $\D V=\frac{NM}{\varrho}\QDQ
   p=\frac{NkT}{V}=\frac{NkT\varrho}{NM}=\frac{kT\varrho}{M}=
    3{,}2\cdot 10^{-10}\,\text{Pa}$
  \item \EPSR{5.5cm}{warr0961}{8cm}{}{
  \PSFM{5.0e-05}{\hspace*{-4mm}\tiny{$5{,}0\cdot 10^{-5}$}}
  \PSFM{1.0e-04}{\hspace*{-4mm}\tiny{$1{,}0\cdot 10^{-4}$}} 
  \PSFM{0.0e+00}{\tiny{0}}
  \PSFM{5000}{\tiny{5000}} \PSFM{10000}{\tiny{10000}} 
  \PSFM{15000}{\tiny{15000}} \PSFM{20000}{\tiny{20000}} 
  \PSFM{0}{\tiny{0}} \PSFM{25000}{\tiny{25000}} 
  \PSFM{v}{\raisebox{-5mm}{$\frac{v}{\RFRAC{m}{s}}$}} 
  \PSFM{y}{$\frac{w}{\RFRAC{s}{m}}$} 
}{
    $\D v_{\text{m}}=\sqrt{\frac{2kT}{M}}=
      7{,}04\cdot 10^{3}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
    $\D\sqrt{\BRA{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{M}}=
      8{,}62\cdot 10^{3}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
    $\BRA{v}=0{,}92\sqrt{\BRA{v^{2}}}=
      7{,}94\cdot 10^{3}\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm]
    $\D w\left(\frac{v_{\text{m}}}{2}\right)=6{,}24\cdot 10^{-5}\,\RFRAC{s}{m}$\\[2mm]
    $w(v_{\text{m}})=1{,}18\cdot 10^{-4}\,\RFRAC{s}{m}$\\[2mm]
    $w\left(\sqrt{\BRA{v^{2}}}\right)=1{,}07\cdot 10^{-4}\,\RFRAC{s}{m}$\\[2mm]
    $w(2v_{\text{m}})=2{,}35\cdot 10^{-5}\,\RFRAC{s}{m}$\\[2mm]
    $w(3v_{\text{m}})=3{,}56\cdot 10^{-7}\,\RFRAC{s}{m}$
  }\\[-0mm]
  \item \EPSR{7.0cm}{warr0962}{6cm}{}{
  \PSFM{1.00}{\tiny{1,00}} \PSFM{1.01}{\tiny{1,01}} \PSFM{1.02}{\tiny{1,02}} 
  \PSFM{1.03}{\tiny{1,03}} \PSFM{1.04}{\tiny{1,04}} 
  \PSFM{5.0e-26}{\hspace*{-4mm}\tiny{$0{,}5\cdot 10^{-25}$}} 
  \PSFM{1.0e-25}{\hspace*{-4mm}\tiny{$1{,}0\cdot 10^{-25}$}} 
  \PSFM{1.5e-25}{\hspace*{-4mm}\tiny{$1{,}5\cdot 10^{-25}$}}
  \PSFM{2.0e-25}{\hspace*{-4mm}\tiny{$2{,}0\cdot 10^{-25}$}} 
  \PSFM{0.0e+00}{\tiny{0}}
  \PSFM{x}{\raisebox{-5mm}{$\frac{v}{v_{0}}$}} 
  \PSFM{y}{$\frac{w}{\RFRAC{s}{m}}$} 
  }{
  z.B. $\Delta v=0{,}01v_{0}=510{,}4\,\RFRAC{m}{s}$\\[2mm] 
\begin{tabular}[t]{l|l}
\multicolumn{1}{c|}{$v$} & \multicolumn{1}{c}{$w$  in $\RFRAC{s}{m}$}\\\hline
$v_{0}$  & $2{,}400\cdot 10^{-25}$ \\
$1{,}005v_{0}=5{,}130\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$  & $1{,}430\cdot 10^{-25}$\\
$1{,}015v_{0}=5{,}181\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$  & $5{,}041\cdot 10^{-26}$\\
$1{,}025v_{0}=5{,}232\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$  & $1{,}758\cdot 10^{-26}$\\
$1{,}035v_{0}=5{,}283\cdot 10^{4}\,\RFRAC{m}{s}$  & $6{,}064\cdot 10^{-27}$
\end{tabular}
  }
$\D P\approx (w(v_{1})+w(v_{2})+w(v_{3})+w(v_{4}))\cdot\Delta v=
  1{,}108\cdot 10^{-22}$\\[2mm]
  $\D N = \frac{m}{M}=\frac{\varrho V}{M}=7{,}77\cdot 10^{21},\quad 
  \left[P_{\text{exakt}}=\int\limits_{v_{0}}^{\infty}w(v)\,\RMd v=
  1{,}175\cdot 10^{-22}\right]$\\[2mm]
  $\Delta N=PN=0{,}86$, d.h. es werden praktisch keine Ionen mehr erzeugt.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
