\ANG{
Die kleinste in der Physik sinnvolle L"ange ist die 
{\em Planckl"ange} $\D l_{\text{p}}=\sqrt{\frac{Gh}{c^{3}}}$.
\begin{enumerate}
\item
Welchen Impuls $p$ und welche Energie $W$ m"usste ein Proton haben, dessen
Wellenl"ange $\lambda$ gleich der Planckl"ange ist (damit k"onnte man dann
Strukturen dieser Gr"o"senordnung untersuchen).
\item In welcher Eigenzeit $\tau$
w"urde dieses Proton quer durchs Universum fliegen ($s=10^{10}\,\text{LJ}$)?
\item Berechne die Geschwindigkeit unseres Protons in der Form 
$v=(1-\alpha)c$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\lambda=l_{\text{p}}=4{,}05\cdot 10^{-35}\,\text{m}$,\qquad
$\D p=\frac{h}{\lambda}=16{,}355\,\RFRAC{kg\,m}{s}$,\qquad
$\D W=\sqrt{W_{0}^{2}+p^{2}c^{2}}\approx pc=4{,}90\,\text{GJ}$
\item $\D \gamma=\frac{W}{m_{\text{p}}c^{2}}=3{,}26\cdot 10^{19}$,\qquad
$\D\tau=\frac{\Delta t}{\gamma}=\frac{s}{c\gamma}=
\frac{9{,}46\cdot 10^{25}\,\text{m}}{c\gamma}=
\frac{3{,}16\cdot 10^{17}\,\text{s}}{\gamma}=
9{,}67\cdot 10^{-3}\,\text{s}$
\item $\D\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\gamma\QDQ
  \beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}\approx 1-\frac{1}{2\gamma^{2}}\QDQ
  \alpha=\frac{1}{2\gamma^{2}}=4{,}70\cdot 10^{-40}$
\end{enumerate}
}
