\ANG{
2008 entdeckten {\sc Marc Fries} und {\sc Andrew Steele} auf einem Meteoriten
sogenannte {\em Carbon Whiskers}, langgestreckte Nanostrukturen aus
Kohlenstoff, von denen angenommen wird, dass sie im Raum um junge Sterne und
Supernov"a vorkommen. Wir gehen davon aus, dass jeder dieser F"aden der L"ange
$a$ ein frei bewegliches, aber auf dem Faden eingesperrtes Elektron enth"alt.
\begin{enumerate} 
\item Erstelle eine Skizze der ersten drei Wellenfunktionen $\varphi_{n}(x)$ 
  (genauer ihres Realteils) des Elektrons und leite daraus eine Formel f"ur
  die zu den Wellenfunktionen geh"orenden Wellenl"angen $\lambda_{n}$
  ab. Berechne daraus die Energiewerte $W_{n}$ des eingesperrten Elektrons
  ($n=1$ f"ur den Grundzustand).
\item Ein d"unnes Gas unserer Nanof"aden der L"ange $a=2{,}9\,\text{nm}$ wird von
  elektromagnetischen Wellen eines sehr breiten Spektralbereichs
  durchstrahlt. Welche Wellenl"angen sind im durchgehenden Licht geschw"acht,
  wenn eine Anregung der F"aden bis $n=4$ angenommen wird? In welchem
  Spektralbereich liegen diese Wellenl"angen? Neben den
  Rechnungen ist auch eine genaue Erkl"arung dieser Schw"achung gefragt!
\item Berechne anhand eines Termschemas die zus"atzlichen Wellenl"angen, die
  das an den F"aden gestreute Licht noch enthalten kann.
\item Es wird derzeit untersucht, ob die {\em Carbon Whiskers} einen Einfluss auf
  die Entfernungsmessung mit Typ 1a Supernav"a haben. Wenn ja, m"ussen dann
  die bisher gemessenen Entfernungen nach oben oder nach unten korrigiert werden?
\end{enumerate} 

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{9cm}{qmrr1071}{5.5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{0}{0} 
}{
$\D\lambda_{1}=2a,\quad\lambda_{2}=a=\frac{2a}{2},\quad
\lambda_{3}=\frac{2a}{3},\quad \lambda_{n}=\frac{2a}{n}$
\[ k_{n}=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}=\frac{\pi}{a}\cdot n,\quad
p_{n}=\hbar k_{n}=\frac{h}{2a}\cdot n\]
\[W_{n}=\frac{p_{n}^{2}}{2m}=\frac{h^{2}}{8ma^{2}}\cdot n^{2}\]
}
\item Da die Verweildauer in angeregten Zust"anden meistens sehr klein ist,
  befinden sich fast alle F"aden im Grundzustand. Photonen mit den Energien
  $W_{n1}=W_{n}-W_{1}$ und den dazu geh"orenden Wellenl"angen
  \[\lambda_{n1}=\frac{hc}{W_{n1}}=\frac{8m_{\text{e}}ca^{2}}{h(n^{2}-1)}=
  \frac{27{,}7\cdot 10^{-6}\,\text{m}}{n^{2}-1}=
  \frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{n^{2}-1}\] 
  werden von den F"aden absorbiert und in alle Richtungen wieder
  ausgesandt. Daher ist die Intensit"at dieser Wellenl"angen der durchgehenden
  Strahlung geschw"acht.
  \[\lambda_{21}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{3}=9{,}2\,\text{\textmu},\quad
    \lambda_{31}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{8}=3{,}5\,\text{\textmu},\quad
    \lambda_{41}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{15}=1{,}8\,\text{\textmu}\]
  Infrarotbereich!
\end{enumerate}
\EPSR{9cm}{qmrr1201}{4.5cm}{}{
\PSFM{W1}{$W_{1}$} \PSFM{W2}{$W_{2}$} \PSFM{W3}{$W_{3}$} \PSFM{W4}{$W_{4}$} 
\PSFM{l21}{$\lambda_{21}$} \PSFM{l31}{$\lambda_{31}$} 
\PSFM{l41}{$\lambda_{41}$} 
\PSFM{l43}{$\lambda_{43}$} \PSFM{l42}{$\lambda_{42}$} \PSFM{l32}{$\lambda_{32}$} 
}{\vspace{-7mm}
\begin{enumerate}
\item[(c)]
$\D\lambda_{43}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{7}=4{,}0\,\text{\textmu},\quad
\lambda_{42}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{12}=2{,}3\,\text{\textmu}$\\[2mm]
$\lambda_{32}=\frac{27{,}7\,\text{\textmu}}{5}=5{,}5\,\text{\textmu}$
\item[(d)] Da mit den Whiskers Licht absorbiert wird, ist die wirkliche Helligkeit
  der Supernov"a gr"o"ser als die gemessene, d.h. sie sind nicht so weit
  entfernt, Korrektur also nach unten.
\end{enumerate}
}
}
