\ANG{
\begin{enumerate}
\item Erkl"are, warum gebundene, station"are quantenmechanische Zust"ande 
  (Teilchen im Potentialtopf) ein diskretes Energiespektrum haben.
\item Nanotechniker haben sehr d"unne F"aden der L"ange $a=400\,\text{nm}$
gefertigt, die ein "uber die ganze Fadenl"ange frei bewegliches Elektron
enthalten. Unter der Annahme, dass die Energie zum Abl"osen des Elektrons
unendlich gro"s ist, gilt f"ur die m"oglichen kinetischen Energien des
Elektrons 
\[W_{n}=\frac{h^{2}}{8ma^{2}}\cdot n^{2}\]
Welche Wellenl"angen einer einfallenden elektromagnetischen Strahlung kann
ein Nanofaden im Grundzustand absorbieren? Berechne den Wert der gr"o"sten
dieser Wellenl"angen. Gib zum Vergleich die gr"o"ste Wellenl"ange an, die ein
klassischer Dipol (Leiterstab) der L"ange $a$ absorbieren kann.
\item Gib ein Paar $(r,s)$ von Quantenzahlen an, f"ur die die
  Wellenl"ange $\lambda_{rs}$ der ausgesandten elektromagnetischen Strahlung
  eines Nanofadens beim "Ubergang von $W_{r}$ nach $W_{s}$ im sichtbaren Bereich liegt.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Bei gebundenen Zust"anden (eindimensionale Betrachtung) gibt es zwei
  Schnittstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ zwischen $W$ (konstante Teilchenenergie)
  und $V(x)$ (potentielle) Energie. Im Intervall $(x_{1}, x_{2})$ hat die
  Wellenfunktion $\varphi(x)$ (L"osung der zeitunabh. Schr"odingergleichung) 
  eine andere mathematische Gestalt als au"serhalb. Aus der
  Stetigkeitsforderung von $\varphi(x)$ und $\varphi'(x)$ auch an den Stellen
  $x_{1}$ und $x_{2}$ folgen Gleichungen, die nur f"ur bestimmte Werte von $W$
  eine L"osung haben.
\item $\D\lambda_{1s}=\frac{hc}{W_{s}-W_{1}}=
  \frac{8mca^{2}}{h}\cdot\frac{1}{s^{2}-1}=\frac{0{,}528\,\text{m}}{s^{2}-1},
  \qquad\lambda_{12}=0{,}176\,\text{m}$\\[2mm]
  F"ur Dipole gilt: $\D\lambda_{\text{e,}n}=\frac{2a}{n}$, d.h 
  $\D\lambda_{\text{e,max}}=\lambda_{\text{e,}1}=2a=800\,\text{nm}$
\item $\D\lambda_{rs}=\frac{hc}{W_{r}-W_{s}}=
  \frac{8mca^{2}}{h}\cdot\frac{1}{r^{2}-s^{2}}=
  \frac{5{,}28\cdot 10^{8}\,\text{nm}}{r^{2}-s^{2}},
  \quad 400\,\text{nm}<\lambda_{rs}<800\,\text{nm}\quad\DANN$\\[2mm]
  $\D\frac{5{,}28\cdot 10^{8}}{800}<r^{2}-s^{2}<\frac{5{,}28\cdot 10^{8}}{400}
  ,\qquad 6{,}6\cdot 10^{5}<r^{2}-s^{2}<13{,}1\cdot 10^{5}$\\[2mm]
  z. B. $s=1$ und $813\leqq r\leqq 1148$ oder 
  $(r,s)=(400\,001,400\,000)$ oder ...
\end{enumerate}
}
