\ANG{
Nanotechniker haben sehr d"unne F"aden der L"ange $a=800\,\text{nm}$
gefertigt, die ein "uber die ganze Fadenl"ange frei bewegliches Elektron
enthalten. Im Folgenden darf angenommen werden, dass die Energie zum Entfernen
des Elektrons vom Faden unendlich gro"s ist.
\begin{enumerate}
\item Erstelle eine Skizze der ersten drei Wellenfunktionen $\varphi_{n}(x)$ 
  (genauer ihres Realteils) und leite daraus eine Formel f"ur die zu den
  Wellenfunktionen geh"orenden Wellenl"angen $\lambda_{n}$ ab. Berechne dann
  Formeln f"ur die Wellenzahlen $k_{n}$, die Impulse $p_{n}$ und die
  kinetischen Energien $W_{n}$ des Elektrons.
\item W"ahlt man die $x$-Achse eines Koordinatensystems so, dass der Nanofaden
  parallel zur Achse ist und bei $x=0$ beginnt, dann lautet die Wellenfunktion
  \[\varphi_{n}(x)=\begin{cases}
    A\sin(k_{n}x) & \text{f"ur $0\leqq x\leqq a$}\\
    0 & \text{sonst}
    \end{cases}
.\]
  Berechne mit einer kurzen Erkl"arung die Amplitude $A$ und schreibe die
  endg"ultige Formel f"ur die Wahrscheinlichkeitsdichte $w_{n}(x)$ hin.
\item Zeichne die Wahrscheinlichkeitsdichte $w_{n}(x)$ f"ur unser Elektron im
  Zustand $n=4$ ($100\,\text{nm}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm}$). 
  Berechne und veranschauliche in der Zeichnung die
  Wahrscheinlichkeit $P$, das Elektron f"ur $n=4$ im Intervall 
  $\D\left[\frac{3a}{16},\frac{5a}{16}\right]$ anzutreffen.
\end{enumerate}}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{7cm}{qmrr1071}{7cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{0}{0} 
}{
$\D\lambda_{1}=2a,\quad\lambda_{2}=a=\frac{2a}{2},\quad\lambda_{3}=\frac{2a}{3}$
\[\lambda_{n}=\frac{2a}{n},\quad
  k_{n}=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}=\frac{\pi}{a}\cdot n\]
\[p_{n}=\hbar k_{n}=\frac{h}{2a}\cdot n\]
\[W_{n}=\frac{p_{n}^{2}}{2m}=\frac{h^{2}}{8ma^{2}}\cdot n^{2}\]
}
\item Da das Elektron irgendwo sein muss, ist
  \[\int\limits_{0}^{a}w_{n}(x)\,\RMd x=
    \int\limits_{0}^{a}|\varphi_{n}(x)|^{2}\,\RMd x=
    A^{2}\int\limits_{0}^{a}\sin^{2}(k_{n}x)\,\RMd x=1\]
  \[A^{2}\left[\frac{x}{2}-
     \frac{\sin k_{n}x\cos k_{n}x}{2k_{n}}\right]_{0}^{a}=
    A^{2}\left[\frac{a}{2}-
     \frac{\sin\overbrace{k_{n}a}^{n\pi}\cos k_{n}a}{2k_{n}}\right]=
    A^{2}\cdot\frac{a}{2}=1
   \]
  \[A=\sqrt{\frac{2}{a}}\quad\DANN\quad
    w_{n}(x)=|\varphi(x)|^{2}=\frac{2}{a}\sin^{2}k_{n}x\]
\item 
  $\D x_{1}=\frac{3a}{16}$,\quad $\D x_{0}=\frac{4a}{16}=\frac{a}{4}$,\quad 
  $\D x_{2}=\frac{5a}{16}$,\quad $\D k_{4}=\frac{4\pi}{a}$
\EPSC{qmrr1072}{10cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{0}{0} \PSFM{w}{$w$} \PSFM{x0}{$x_{0}$}
\PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{w0}{$0{,}0025\,\RFRAC{1}{nm}$} 
}
\begin{align}
  P &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}w_{4}(x)\,\RMd x=
   2\int\limits_{x_{0}}^{x_{2}}w_{4}(x)\,\RMd x=
   \frac{4}{a}\int\limits_{x_{0}}^{x_{2}}\sin^{2}(k_{4}x)\,\RMd x=\nonumber\\
    &= \frac{4}{a}\left[\frac{x}{2}-
     \frac{\sin k_{4}x\cos k_{4}x}{2k_{4}}\right]_{x_{0}}^{x_{2}}=
      \frac{4}{a}\left[\frac{x}{2}-
     \frac{\sin 2k_{4}x}{4k_{4}}\right]_{x_{0}}^{x_{2}}=\nonumber\\
    &= \frac{4}{a}\left[\frac{5a}{32}-\frac{4a}{32}
     -\frac{a\sin\left(\frac{8\pi}{a}\cdot\frac{5a}{16}\right)}{16\pi}
     +\frac{a\sin\left(\frac{8\pi}{a}\cdot\frac{a}{4}\right)}{16\pi}\right]=
    \nonumber\\
    &= \frac{1}{8}-\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)}{4\pi}
     +\frac{\sin 2\pi}{4\pi}= \frac{1}{8}-\frac{1}{4\pi}=\frac{\pi-2}{8\pi}=
     0{,}0454
    \nonumber
\end{align}
\end{enumerate}
}
