\ANG{
Nanotechniker haben sehr d"unne F"aden der L"ange $a=40\,\text{nm}$
gefertigt, die ein "uber die ganze Fadenl"ange frei bewegliches Elektron
enthalten. Es darf angenommen werden, dass die Energie zum Abl"osen des Elektrons
unendlich gro"s ist.
\begin{enumerate}
\item Welche Forderungen an die L"osungen der Schr"odingergleichung bedingen
  ganz allgemein die Existenz diskreter Energiewerte eingesperrter Teilchen?
\item Zeichne die drei ersten Wellenfunktionen unseres eingesperrten Teilchens
  und beweise f"ur seine kinetische Energie die Formel
  \[\boxed{\D 
     W_{n}=\frac{h^{2}\,n^{2}}{8\,m_{\e}\,a^{2}}
  }\]
\item W"ahlt man die $x$-Achse eines Koordinatensystems so, dass der Nanofaden
  parallel zur Achse ist und bei $x=0$ beginnt, dann lautet die Wellenfunktion
  \[\varphi_{n}(x)=\begin{cases}
    A\sin(k_{n}x) & \text{f"ur $0\leqq x\leqq a$}\\
    0 & \text{sonst}
    \end{cases}
\]
Schreibe eine Gleichung hin, aus der man die Amplitude $A$ berechnen kann. 
Ohne weitere Rechnung darf die L"osung $A=\sqrt{\frac 2a}$ weiter verwendet werden.
Schreibe die endg"ultige Formel f"ur die Wahrscheinlichkeitsdichte $w_{n}(x)$ hin.
\item Zeichne die Wahrscheinlichkeitsdichte $w_{n}(x)$ f"ur unser Elektron im
  Zustand $n=4$ ($5\,\text{nm}\,\widehat{=}\,1\,\text{cm},\,w_{\max}\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$). 
 $P_1$ und $P_2$ bezeichnen die Wahrscheinlichkeiten, das Elektron f"ur $n=4$ in den Intervallen 
  $I_1=\left[\frac{a}{4},\frac{3a}{8}\right]$ bzw. 
 $I_2=\left[0{,}65a; 0{,}66a\right]$ auf der $x$-Achse anzutreffen.
Veranschauliche $P_1$ und $P_2$ in der Zeichnung und berechne m"oglichst einfach 
die Werte dieser Wahrscheinlichkeiten.
\item Welche Wellenl"angen einer einfallenden elektromagnetischen Strahlung kann
ein Nanofaden im Grundzustand absorbieren? Berechne den Wert der gr"o"sten
dieser Wellenl"angen.
% Gib zum Vergleich die gr"o"ste Wellenl"ange an, die ein
%klassischer Dipol (Leiterstab) der L"ange $a$ absorbieren kann.
\item Gib ein Paar $(r,s)$ von Quantenzahlen an, f"ur die die
  Wellenl"ange $\lambda_{rs}$ der ausgesandten elektromagnetischen Strahlung
  eines Nanofadens beim "Ubergang von $W_{r}$ nach $W_{s}$ im sichtbaren Bereich liegt.

\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Wellenfunktion.
\item \EPSR{9cm}{qmrr1071}{5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{0}{0} 
}{
$\D\lambda_{1}=2a,\quad\lambda_{2}=a=\frac{2a}{2},\quad
\lambda_{3}=\frac{2a}{3},\quad\lambda_{n}=\frac{2a}{n}$
\[ k_{n}=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}=\frac{\pi}{a}\cdot n,\quad
  p_{n}=\hbar k_{n}=\frac{h}{2a}\cdot n\]
\[W_{n}=\frac{p_{n}^{2}}{2m}=\frac{h^{2}}{8ma^{2}}\cdot n^{2}\]
}
\item Da das Elektron irgendwo sein muss, ist
  \[\int\limits_{0}^{a}w_{n}(x)\,\RMd x=
    \int\limits_{0}^{a}|\varphi_{n}(x)|^{2}\,\RMd x=
    A^{2}\int\limits_{0}^{a}\sin^{2}(k_{n}x)\,\RMd x=1\]
\[   w_{n}(x)=|\varphi(x)|^{2}=\frac{2}{a}\sin^{2}k_{n}x\]
\item
\EPSR{6cm}{qmrr1232}{7.5cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{0}{0} \PSFM{w}{$w$} \PSFM{x0}{$\frac a4$}
\PSFM{x1}{$\frac{3a}{8}$} \PSFM{x2}{$0{,}655a$} \PSFM{w0}{$0{,}05\,\RFRAC{1}{nm}$} 
}{
$\D k_{4}=\frac{4\pi}{a},\quad w_4(x)=\frac{2}{a}\sin^{2}\frac{4\pi x}{a}$\\[2mm]
$P_1$ entspricht einem Achtel der Gesamtfl"ache:
\[P_1=\frac 18=12{,}5\%\]
\begin{align*}
  P_2 &\approx w_4(0{,}655a)\cdot 0{,}01a=\\
 &= 0{,}02\cdot\sin^2(4\pi\cdot 0{,}655)=1{,}73\%
\end{align*}
\vspace{-12mm}

\begin{align*}
  w_4(0{,}65a)\cdot 0{,}01a &= 1{,}81\%\\
  w_4(0{,}66a)\cdot 0{,}01a &= 1{,}64\%
\end{align*}
}
\item  $\D\lambda_{r1}=\frac{hc}{W_{r}-W_{1}}=
  \frac{8mca^{2}}{h}\cdot\frac{1}{r^{2}-1}=\frac{5{,}28\,\text{mm}}{r^{2}-1},
  \qquad\lambda_{21}=1{,}76\,\text{mm}$
%\\[2mm]
%  F"ur Dipole gilt: $\D\lambda_{\text{e,}n}=\frac{2a}{n}$, d.h 
 % $\D\lambda_{\text{e,max}}=\lambda_{\text{e,}1}=2a=80\,\text{nm}$
\item $\D\lambda_{rs}=\frac{hc}{W_{r}-W_{s}}=
  \frac{8mca^{2}}{h}\cdot\frac{1}{r^{2}-s^{2}}=
  \frac{5{,}28\cdot 10^{6}\,\text{nm}}{r^{2}-s^{2}},
  \quad 400\,\text{nm}<\lambda_{rs}<800\,\text{nm}\quad\DANN$\\[2mm]
  $\D\frac{5{,}28\cdot 10^{6}}{800}<r^{2}-s^{2}<\frac{5{,}28\cdot 10^{6}}{400}
  ,\qquad 6{,}6\cdot 10^{3}<r^{2}-s^{2}<13{,}1\cdot 10^{3}$\\[2mm]
  z. B. $s=1$ und $82\leqq r\leqq 114$ oder 
  $(r,s)=(4001,4000)$ oder ...

\end{enumerate}
}
